Инженерная олимпиада 2026, 11 класс, задача 5
Сопротивление проволочного резистора при очень малом токе составляет , а его температура практически равна температуре окружающей среды. Увеличиваем ток через резистор и устанавливаем его . Сопротивление резистора возрастает до значения и далее перестает меняться. При каком токе резистор перегорит? Известно, что сопротивление резистора зависит от температуры по закону , где - сопротивление резистора при температуре , - температурный коэффициент сопротивления. Мощность теплоотдачи от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающей среды. Сопротивление источника тока много больше сопротивления резистора.
Решение.
Поскольку сопротивление источника много больше сопротивления внешней цепи, то сила тока, текущего через резистор, не зависит от его сопротивления. Действительно, при большом сопротивлении источника в законе Ома для замкнутой цепи
можно пренебречь сопротивлением внешней цепи и считать, что сила тока в цепи не зависит от сопротивления , а определяется только ЭДС источника и его внутренним сопротивлением.
Поэтому будем считать, что сила тока, текущего через резистор, не зависит от сопротивления самого резистора, а следовательно, может быть установлена любой по нашему желанию с помощью изменения тока, например, внутреннего сопротивления источника.
При комнатной температуре сопротивление резистора равно . Поэтому если установить очень малый ток через резистор, теплоотдача с ним мала, и резистор имеет именно такое сопротивление.
Посмотрим, что будет происходить при увеличении тока. Устанавливаем ток через резистор, равный , и пусть сопротивление резистора при этом токе возросло до значения и далее перестало меняться. Это значит, что температура резистора выросла, и при этой температуре мощности тепловыделения и теплопотерь одинаковы, т.е.
Где - установившаяся температура резистора при токе , - коэффициент, определяющий теплоотдачу от резистора и зависящий от свойств теплопроводности изоляции резистора. Отсюда находим
Отсюда следует, что если
то температура резистора неограниченно возрастает, и, следовательно, резистор перегорит. Это происходит потому, что при заданном токе выделяемая в резисторе мощность и мощность теплопотерь пропорциональны разности температур резистора и окружающей среды. Но мощность тепловыделения пропорциональна еще и протекающему через резистор току. А это значит, что при определенном токе мощность тепловыделения будет расти с ростом температуры быстрее, чем мощность теплоотвода. Резистор будет нагреваться и перегорит.
Найдем, при каком токе это произойдет. Пусть при токе температура резистора и его сопротивление равны и соответственно. Тогда
и
Выражая из этих формул разности температур и приравнивая их, получим
Из последнего уравнения находим
Подставляя это значение в формулу (*), находим максимальный ток, при котором перегорит резистор
Правильное утверждение, что ток через резистор не зависит от его сопротивления
Правильная идея решения - когда тепловыделение превосходит теплоотдачу, резистор перегорит
Правильное выражение для максимального тока
Правильное уравнение теплового баланса
Правильный ответ