Инженерная олимпиада 2024, 11 класс, задача 3
С одноатомным идеальным газом происходит процесс , для которого дан график зависимости работы, совершенной газом с начала процесса, от количества теплоты, полученной газом с начала процесса (участки графика и параллельны). Известно, что , где и - давление и объем газа в начале процесса. Построить график зависимости давления газа от его объема в процессе .
Решение.
В процессе газ не совершает работу, поэтому это процесс - изохорический с получением теплоты, т.е. с увеличением давления и температуры. Применение первого закона термодинамики к этому процессу дает
( - количество вещества газа, - изменение его температуры в процессе , и - давление газа в состояниях и , - объем газа в состоянии (и )). Поскольку (как это следует из данного в условии графика) , то
и, следовательно, .
Как следует из данного в условии задачи графика, работа газа в процессе составляет от количества теплоты, полученного газом в этом процессе. Такое соотношение работы и количества теплоты имеет место для изобарического процесса. Поэтому процесс - изобарический () с ростом объема и температуры. Работа газа в изобарическом процессе равна
Отсюда находим, что
и, следовательно, .
В процессе газ не совершает работы, поэтому этот процесс - изохорический. Применение первого закона термодинамики к этому процессу дает
где - количество тепла, полученного газом в этом процессе. Отсюда
А поскольку (график в условии задачи), то , и, значит, .
Так как участки графика и параллельны, в процессе работа газа снова составляет от количества тепла, полученного газом. Поэтому это процесс изобарический, в котором уменьшаются объем и температура (поскольку ). А так как , то начальное состояние лежит на изобаре (или ее продолжении). Найдем объем газа в состоянии - т.е. поймем, является ли процесс замкнутым циклом, или он «недозамкнут» или «перезамкнут».
Работа газа в изобарическом процессе есть
Отсюда
Так как в процессе газ совершает работу (см. график условия), то , и . Следовательно, рассматриваемый процесс не является замкнутым циклом и «перезамкнут». График процесса в координатах «давление-объем» приведен на рисунке.
Правильно идентифицированы процессы
Правильно определено давление газа в состоянии
Правильно определен объем в состоянии
Правильный вывод, что начальное состояние лежит на изобаре , но рассматриваемый процесс не является замкнутым циклом, а «перезамкнут»
Правильный график процесса в координатах «давление-объем» с указанием давлений и объемов во всех состояниях