Инженерная олимпиада 2024, 11 класс, задача 5

Решение.

Найдем, как меняется давление воды в сосуде, имеющем форму перевернутого конуса, при ее нагревании. Во-первых, заметим, что учитывать изменение размеров сосуда при нагревании нам не нужно, поскольку в условии сказано, что коэффициент теплового расширения стекла много меньше коэффициента теплового расширения воды.

Чтобы понять, как меняется давление воды в сосуде при нагревании, рассмотрим сначала более простую задачу, когда сосуд, в котором нагревают воду, цилиндрический. Пусть объем воды при нагревании увеличился в раз: . Тогда с учетом того, что площадь сечения сосуда не меняется, это приводит к увеличению высоты столба воды тоже в раз:

С другой стороны, увеличение объема воды в раз приводит к уменьшению ее плотности в раз:

Отсюда заключаем, что гидростатическое давление воды в цилиндрическом сосуде при ее нагревании не меняется:

Таким образом, если бы нагреваемый сосуд был цилиндрическим, давление воды в нем при нагревании не изменилось бы, поскольку уменьшение плотности воды при тепловом расширении точно компенсируется увеличением уровня воды.

Отсюда легко сообразить, что в сосуде, представляющем собой перевернутый конус, давление воды уменьшается при нагревании. Действительно, при нагревании воды ее плотность уменьшается так же, как и в цилиндрическом сосуде, поскольку уменьшение плотности определяется только увеличением объема воды. А вот рост высоты столба воды в расширяющемся сосуде будет меньше, чем в цилиндрическом. Поэтому в том сосуде, где жидкость не нагревается, ее уровень будет опускаться.

Если бы сосуд был сужающимся кверху, например, в форме неперевернутого конуса, то ситуация была бы обратной. При нагревании воды в коническом сосуде ее уровень рос бы быстрее, чем убывала бы плотность. Поэтому давление воды увеличивалось бы, и уровень воды в другом колене повысился.