Инженерная олимпиада 2025, 9 класс, задача 5
Вертикальный цилиндрический сосуд разделен не пропускающими воду вертикальными теплопроводящими перегородками на три части, одна из которых составляет половину сосуда, а две другие - по одной четверти сосуда (см. рисунок, вид сверху).
В получившиеся отсеки налита вода при разной температуре - , , . Известно, что через некоторое время горячая вода остыла на . Как изменилась температура воды в других отсеках? Перегородки имеют одинаковую толщину и сделаны из одного материала, сосуд теплоизолирован.
Указание. Поток тепла между телами пропорционален площади их контакта и разности температур.
Пользуясь указанием к условию задачи, для потока тепла от любого более горячего отсека к любому более холодному можно написать
где - коэффициент пропорциональности, который одинаков для всех перегородок, поскольку у них одинаковые площади, толщины, и они изготовлены из одного и того же материала, и - температуры более горячей и более холодной воды. Далее, поскольку изменение температур воды во всех отсеках гораздо меньше разности температур воды в отсеках, можно считать, что поток в рассматриваемых процессах практически не изменяется. Поэтому можно записать уравнение теплового баланса для остывания воды в горячем отсеке в следующем виде
( - удельная теплоемкость воды, - масса воды в самом горячем отсеке). Уравнение теплового баланса для нагревания воды в самом холодном отсеке дает
где - увеличение температуры воды в отсеке с самой холодной водой. Здесь учтено, что масса воды в отсеке с холодной водой вдвое меньше массы воды в отсеке с горячей водой.
Отсек с водой промежуточной температуры будет получать тепло от отсека с горячей водой и отдавать тепло отсеку с холодной водой. Но поскольку (как это следует из условия)
то отсек со средней температурой больше получает, чем отдает тепла, и, следовательно, вода в нем нагреется. В результате получаем следующее уравнение теплового баланса для нагрева воды в этом отсеке
где - увеличение температуры воды со средней температурой. Выражая коэффициент из первой формулы и подставляя его в две последние, получим
Правильное использование формул для потоков тепла между отсеками
Сделано обоснованное утверждение, что в формулах для потоков тепла между отсеками один и тот же коэффициент пропорциональности
Правильные уравнения теплового баланса для всех трех отсеков
Правильный ответ для увеличения температуры в отсеке с холодной водой (формула и число)
Правильный ответ для увеличения температуры в отсеке с водой средней температуры (формула и число)