Робофест 2025, 10 класс, задача 1
Вопрос. Согласно уравнению Мещерского, сила тяги реактивного двигателя, выбрасывающего продукты сгорания топлива массой за малое время со скоростью истечения относительно себя, равна . Величину обычно называют расходом массы. Допустим, что летательный аппарат, снабженный реактивным двигателем, расходует от собственной массы за . При какой величине скорости истечения он может «зависнуть» неподвижно в поле тяжести у поверхности Земли, где ?
Задача. Пусть нам необходим спутник, работающий на «полярной орбите». Это круговая орбита с радиусом, равным радиусу Земли , центр которой совпадает с одним из полюсов Земли, а плоскость перпендикулярна оси вращения Земли. Для вращения по этой орбите спутник использует реактивный двигатель, направление силы тяги которого выбрано так, чтобы расход массы топлива и окислителя был минимален. Найдите период обращения этого спутника. Считайте известным, что период обращения спутника без двигателя по низковысотной круговой орбите . Пусть также известно, что в момент начала работы спутника на этой орбите запасы топлива и окислителя составляли половину общей массы спутника, а скорость истечения продуктов сгорания . Оцените время работы такого спутника на этой орбите. Ускорение свободного падения на поверхности Земли .
Ответ на вопрос. Для того, чтобы ЛА был неподвижен, сила реактивной тяги должна уравновешивать силу тяжести:
Решение задачи. Пусть - радиус Земли. На спутник действуют две силы: сила тяжести и сила реактивной тяги. При движении по круговой орбите вектор ускорения лежит в плоскости орбиты, поэтому перпендикулярные ей компоненты сил должны компенсировать друг друга:
где - угол между направлением вектора силы тяги и перпендикуляром к плоскости орбиты. Здесь учтено, что спутник находится на расстоянии от центра Земли, и по закону всемирного тяготения сила тяжести для него в два раза меньше, чем на поверхности Земли, и направлена к центру Земли. Расход топлива минимален при , то есть сила реактивной тяги должна быть перпендикулярна плоскости орбиты.
Тогда центростремительное ускорение спутника на орбите создается только проекцией силы тяжести на плоскость орбиты:
При этом относительная скорость расхода массы
Это оценка, потому что масса на самом деле убывает экспоненциально, а не линейно. Для данной задачи достаточно:
Как видно, запасов топлива и окислителя в таком режиме не хватит даже на один оборот.
Ответ. , .
Указано, что сила реактивной тяги должна уравновешивать силу тяжести.
Записано правильное уравнение для определения .
Получен правильный численный ответ.
Указано, что на спутник действуют сила тяжести и сила реактивной тяги.
Указано, что перпендикулярные плоскости орбиты компоненты сил должны компенсировать друг друга.
Записано правильное уравнение для расхода топлива и окислителя.
Установлено, что сила реактивной тяги должна быть перпендикулярна плоскости орбиты.
Записано правильное уравнение для центростремительной компоненты ускорения.
Получен правильный аналитический ответ для периода вращения.
Получен правильный численный ответ для периода вращения.
Получен правильный аналитический ответ для времени работы.
Получен правильный численный ответ для времени работы.