Робофест 2025, 10 класс, задача 1
Вопрос. Согласно уравнению Мещерского, сила тяги реактивного двигателя, выбрасывающего продукты сгорания топлива массой за малое время со скоростью истечения относительно себя, равна . Величину обычно называют расходом массы. Допустим, что летательный аппарат, снабженный реактивным двигателем, расходует от собственной массы за . При какой величине скорости истечения он может «зависнуть» неподвижно в поле тяжести у поверхности Земли, где ?
Задача. Пусть нам необходим спутник, работающий на «полярной орбите». Это круговая орбита с радиусом, равным радиусу Земли , центр которой совпадает с одним из полюсов Земли, а плоскость перпендикулярна оси вращения Земли. Для вращения по этой орбите спутник использует реактивный двигатель, направление силы тяги которого выбрано так, чтобы расход массы топлива и окислителя был минимален. Найдите период обращения этого спутника. Считайте известным, что период обращения спутника без двигателя по низковысотной круговой орбите . Пусть также известно, что в момент начала работы спутника на этой орбите запасы топлива и окислителя составляли половину общей массы спутника, а скорость истечения продуктов сгорания . Оцените время работы такого спутника на этой орбите. Ускорение свободного падения на поверхности Земли .
Ответ
Ответ на вопрос. Для того, чтобы ЛА был неподвижен, сила реактивной тяги должна уравновешивать силу тяжести:
Решение задачи. Пусть - радиус Земли. На спутник действуют две силы: сила тяжести и сила реактивной тяги. При движении по круговой орбите вектор ускорения лежит в плоскости орбиты, поэтому перпендикулярные ей компоненты сил должны компенсировать друг друга:
где - угол между направлением вектора силы тяги и перпендикуляром к плоскости орбиты. Здесь учтено, что спутник находится на расстоянии от центра Земли, и по закону всемирного тяготения сила тяжести для него в два раза меньше, чем на поверхности Земли, и направлена к центру Земли. Расход топлива минимален при , то есть сила реактивной тяги должна быть перпендикулярна плоскости орбиты.
Тогда центростремительное ускорение спутника на орбите создается только проекцией силы тяжести на плоскость орбиты:
При этом относительная скорость расхода массы
Это оценка, потому что масса на самом деле убывает экспоненциально, а не линейно. Для данной задачи достаточно:
Как видно, запасов топлива и окислителя в таком режиме не хватит даже на один оборот.
Ответ. , .