Робофест 2026, 10 класс, задача 1
Вопрос. Диаграмма процесса над идеальным газом в координатах давление-объем — прямая линия. В каких случаях теплоемкость газа в таком процессе постоянна?
Задача. Рассмотрим тепловые машины, в которых в качестве рабочего тела используется идеальный газ, а диаграмма цикла в координатах давление — объем имеет вид прямоугольного треугольника (см. рисунок) с фиксированным углом между гипотенузой этого треугольника и осью объемов.
Нам известно, что КПД этого цикла при значении отношения максимального и минимального объемов равен , а при равен . Определите величину угла . Чему равен КПД этого цикла при и ?
Ответ на вопрос. Процессы, в которых теплоемкость постоянна, называются политропическими, и их уравнение в координатах давление-объем
Показатель политропы связан с молярной теплоемкостью газа в этом процессе:
Это уравнение описывает прямую линию в трех случаях: (изобарный процесс — прямая, проходящая параллельно оси объемов), (изохорный процесс — прямая, проходящая параллельно оси давлений) и (прямая, проходящая через начало координат). Остальные прямые отвечают процессам с переменной теплоемкостью.
Решение задачи. Обозначим (то есть уравнение прямой 1-2 будем записывать как ). Тогда работа газа в цикле (которая равна площади цикла в этих координатах)
Работа в процессе 1-2
В этом процессе газ получает тепло (в процессах 2-3 и 3-1 он отдает тепло). В соответствии с I Началом термодинамики
В этом выражении присутствует множитель (число степеней свободы молекулы газа), поскольку нам неизвестно, какой именно идеальный газ использован в качестве рабочего тела. Приводя подобные, получаем
Следовательно, КПД цикла
При изучении связи КПД с удобнее следить за обратной величиной
Подставим в это уравнение два известных нам значения, и получим систему уравнений
Итак, наше рабочее тело — одноатомный идеальный газ, а . Отметим, что величина угла определена в предположении, что и выбраны в качестве масштабных единиц на осях диаграммы (то есть при другом выборе масштабных единиц величина угла может измениться, но правильным ответом должно считаться значение, полученное для конкретного выбора масштабов).
Подставляя полученные значения в формулу, получаем
Таким образом: и .
Ответ. При выборе и в качестве масштабных единиц по осям , и .
Вопрос: приведено уравнение политропы.
Вопрос: приведена формула связи показателя политропы с теплоемкостью.
Вопрос: указаны три случая, когда у процесса с прямолинейной --диаграммой постоянная теплоемкость.
Задача: записано уравнение процесса 1-2 через параметр, связанный с углом наклона диаграммы.
Задача: в качестве масштабных единиц используются и или указаны другие масштабные единицы, используемые в работе.
Задача: записана правильная формула для работы в цикле через и введенный параметр.
Задача: записана правильная формула для через и введенный параметр.
Задача: записана правильная формула для КПД через и введенный параметр.
Задача: записана правильная система уравнений для определения параметров рабочего тела и цикла.
Задача: установлено, что газ одноатомный.
Задача: найдено значение , правильное для выбранных масштабных единиц.
Задача: правильно найдены значения КПД для заданных .