Росатом 2026, Отбор, 9 класс, задача 5
К электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, приложили напряжение . Найти силу электрического тока, текущего через резистор с сопротивлением . Во сколько раз изменится мощность, выделяемая в цепи, если средний резистор перегорит. Сопротивления резисторов известны.
Решение.
Пусть при приложении к цепи напряжения через резисторы , и текут электрические токи , и соответственно (из симметрии цепи следует, что токи, текущие через резисторы и слева и справа, будут одинаковы). Эти токи расставлены на рисунке (если направление тока выбрано неверно, из решения системы нижеследующих уравнений он получится отрицательным).
Поскольку сумма втекающих в любой узел цепи и вытекающих из него токов одинаковы, имеем
Если рассмотреть замкнутый участок цепи, содержащий резисторы , и слева. Напряжения на двух резисторах и должно быть равно напряжению на резисторе . Поэтому
или
Рассматривая уравнения (*)-(**) как систему уравнений относительно и , найдем
Поэтому для напряжения в цепи имеем
Отсюда находим ток, текущий через средний резистор
Мощность, выделяемую на цепи, найдем по закону Джоуля-Ленца. Для этого найдем общий ток , текущий через цепь
Поэтому мощность, выделяемая на цепи, есть
Если средний резистор перегорит, сопротивление цепи будет равно , и, следовательно, в цепи будет выделяться мощность
Или выделяемая на новой цепи мощность будет составлять от старой
Правильное использование симметрии цепи: токи в резисторах и слева и справа одинаковы
Правильные условия токов в вершинах и условия обхода по замкнутым контурам для , ,
Правильно найдено сопротивление цепи и ток
Правильно использован закон Джоуля-Ленца для мощностей и
Правильный ответ: , новая мощность составляет от старой