Робофест 2026, 11 класс, задача 4
Вопрос. Тонкий световой пучок параллельных лучей падает нормально на грань прозрачной призмы, сечением которой является правильный треугольник. Показатель преломления ее материала . Через какую из ее граней пучок впервые выйдет из призмы наружу?
Задача. Световое излучение — это разновидность электромагнитных волн, причем разные цвета отличаются друг от друга длиной волны . Планарный световод изготовлен из однородной плоской прозрачной пластины, изогнутой так, как показано на рисунке.
Поверхности зоны изгиба являются половинами поверхностей цилиндров, радиусы которых удовлетворяют соотношению . На торец световода падает однородный (по сечению) параллельный пучок световых лучей общей мощностью , являющийся смесью излучений с длинами волн от до . Мощность излучения распределена по спектру равномерно (то есть на одинаковые диапазоны длины волны приходятся одинаковые части общей мощности). Материал световода прозрачный, и его показатель преломления в этом диапазоне зависит от длины волны по закону , где . Пройдя по световоду, лучи попадают в приемник. Известно, что лучи, не испытавшие на поверхности световода полного внутреннего отражения, практически полностью покидают его и в приемник не попадают. Какая часть пучка для каждой из длин волн испытывает ПВО при первом падении изнутри на внешнюю поверхность световода? Какова мощность излучения, попадающего в приемник?
Ответ на вопрос. На грани 3 при первом падении пучок не преломляется, на грань 1 изнутри пучок падает под углом . Поскольку , то на этой грани происходит полное внутреннее отражение, а затем на грань 2 пучок падает нормально и лучи пучка выходят из призмы наружу. Так что ответ на вопрос — через грань 2.
Решение задачи. Рассмотрим луч, падающий на «вход» световода на расстоянии от его «нижнего» края. Ясно, что угол его падения изнутри на внешнюю поверхность световода определяется из уравнения
Для того, чтобы этот луч испытал полное внутреннее отражение, должно выполняться условие
Мы обнаружили, что полное внутреннее отражение испытывают лучи, падающие на «вход» световода в интервале значений
Можно заметить, что этот интервал существует для всех значений из заданного диапазона, причем для он перекрывает весь диапазон возможных значений , то есть полное внутреннее отражение испытывают все лучи. Для доля лучей, испытавших такое отражение при первом падении, равна
Минимальная доля отвечает и равна .
Как видно из построения (см. рисунок), лучи, испытывающие ПВО при первом падении, далее обязательно доходят до поглотителя: даже «крайний» луч, отвечающий , после первого отражения идет по касательной к внутреннему радиусу и падает в точку сопряжения изгиба и плоской части пластины с тем же углом падения в , что и в первый раз. Значит, и в этой точке луч испытает полное внутреннее отражение. Ясно, что при следующих падениях на боковые поверхности плоской части пластины угол падения останется таким же, и этот луч дойдет до поглотителя. Лучи, идущие выше этого, будут иметь еще большие углы падения на внешнюю цилиндрическую и плоские поверхности пластины, поэтому они тоже дойдут до поглотителя.
В падающем пучке мощность излучения распределена по спектру равномерно (отношение мощности к ширине спектра ), а в пучке, дошедшем до поглотителя, для некоторых длин волн она уменьшается за счет того, что не все лучи испытывают ПВО. Как мы поняли, на диапазон приходится мощность
В диапазоне мощность, приходящаяся на малый интервал длин волн, убывает линейно от до . Используя среднюю «спектральную плотность», вычислим мощность излучения с , приходящую в поглотитель:
Полная мощность излучения, попадающего в приемник,
Расчет также можно провести, построив график распределения мощности по спектру.
Ответ. При первом падении на поверхность световода изнутри доля лучей, испытавших ПВО, равна при , и равна при . Мощность излучения, попадающего в приемник, .
Вопрос: указано (используется в решении), что на грани 3 при первом падении пучок не преломляется.
Вопрос: указано, что угол падения на грань 1 равен .
Вопрос: показано, что на грани 1 происходит полное внутреннее отражение.
Вопрос: выяснено, что на грань 2 пучок падает нормально.
Вопрос: дан правильный итоговый ответ.
Задача: правильно записано условие на показатель преломления для того, чтобы луч испытал ПВО при первом падении.
Задача: из этого условия выведено правильное условие на координату луча с заданной длиной волны (эквивалентное ).
Задача: полученное правильное выражение для доли лучей с заданной длиной волны, испытавших ПВО при первом падении.
Задача: показано (рассуждениями либо построениями хода лучей), что все лучи, испытавшее ПВО при первом падении, доходят до поглотителя.
Задача: используется корректный метод подсчета суммарной мощности излучения, попадающего в приемник: для диапазона и для диапазона .
Задача: получен правильный численный ответ .