Робофест 2023, 11 класс, задача 4

Ответ на вопрос. Для построения небольшого отрезка вблизи ГОО линзы можно использовать параксиальное приближение. Это означает, что мы можем при этом использовать правила построения хода лучей, разработанные для тонких линз, для любого луча, связывающего точки этого отрезка и их изображения. В частности, мы можем рассмотреть луч, идущий вдоль отрезка — он будет проходить через все его точки. Этот луч после преломления на плоскости тонкой линзы пройдет через все точки изображения отрезка, то есть они будут лежать на одной прямой.

Изображение отрезка будет отрезком, если между ними не будет «разрывов». При всех положениях точечного источника, кроме его размещения в ближней фокальной плоскости линзы, увеличение является конечным, и у «очень близко» расположенных точек изображения тоже находится «очень близко». Значит, разрыв возможен, только если отрезок пересекает ближнюю фокальную плоскость линзы. И это действительно так: изображение точки из фокальной плоскости находится в бесконечности — перед линзой для мнимых изображений (точек, приблизившихся к фокальной плоскости, двигаясь от линзы) и за линзой для действительных изображений (точек, двигавшихся к линзе). Итак, ответ на поставленный вопрос: Всегда, если отрезок не пересекает ближнюю фокальную плоскость линзы. Если пересекает — его изображением является «разорванная» прямая, включающая «бесконечно удаленные точки» (параллельные пучки лучей).

Примечание. Возможно алгебраическое доказательство основного утверждения. Если ввести систему координат, у которой ось направлена вдоль ГОО («по ходу» лучей от отрезка), а ось — вдоль плоскости линзы, то можно найти уравнение для изображения прямой , созданного линзой. В самом деле, расстояние от точки отрезка до линзы в такой СК равно , а от линзы до изображения этой точки . Из формулы линзы следует, что

Поскольку точка и изображение соединяются прямой, проходящее через оптический центр (начало координат), то

то есть изображением прямой является прямая (мы даже получили связь коэффициентов наклона этих прямых). Остается только учесть условие неразрывности отрезка-изображения так же, как и в геометрическом варианте доказательства.

Решение задачи. Мы знаем, что — действительное изображение для правой линзы. Тогда, поскольку нам известна оптическая силы линзы, мы можем найти положения «предмета» (то есть изображения в левой линзе системы). Достаточно провести лучи, приходящие в точки и через оптический центр левой линзы (они продолжаются за линзу без преломления) и параллельно ГОО (приходят к линзе из ее фокуса, отмеченного красной точкой). В результате мы обнаруживаем, что отрезок расположен очень близко к , а и вообще совпадают. Значит, плоскость левой линзы проходит через вдоль «вертикальной» линии сетки.

Дополнительно это можно проверить, проведя прямую — она должна пересечь ГОО в оптическом центре левой линзы. Как видно, и лежат по одну сторону от линзы (изображение мнимое) и изображение ближе к линзе (оно уменьшенное). Такие изображения может создавать только рассеивающая линза. Поэтому, проведя луч от точки вдоль ГОО до плоскости линзы, строим его преломление в линзе, зная, что его продолжение должно проходить через (пунктир). Но это продолжение должно проходить и через фокус левой линзы. Таким образом, этот фокус находится на пересечении этой прямой и ГОО (оранжевая точка). Пересчитав клетки, находим, что модуль фокусного расстояния левой линзы и , а расстояние между оптическими центрами линз .

Отметим, что информация о расположении оптических центров линз в узлах клетчатой сетки повышает точность, так как позволяет «скорректировать» ошибки, появляющиеся из-за неаккуратности построений. Разность масштабов по направлениям сетки введена для того, чтобы соединить возможность аккуратного построения и выполнение требования параксиальности лучей, участвующих в создании изображений.

Ответ. См. построение, оптическая сила правой линзы , а расстояние между оптическими центрами линз .