Робофест 2024, 11 класс, задача 3
Вопрос. Небольшой шайбе с массой и зарядом , находящейся на шероховатой непроводящей наклонной плоскости, сообщена скорость . В области расположения плоскости создано однородное постоянное магнитное поле с индукцией . После скольжения без отрыва по плоскости шайба остановилась в точке, находящейся ниже стартовой точки по высоте на расстояние . Найдите работы двух действующих на шайбу сил — силы трения и силы Лоренца на всем пути шайбы от старта до остановки. Поляризацией и намагничиванием поверхности можно пренебречь.
Задача. Плоскость из вопроса составляет угол с горизонтом. Известно, что вектор индукции магнитного поля перпендикулярен плоскости, а коэффициент трения шайбы о плоскость . Дополнительно к магнитному полю в области расположения плоскости создали однородное постоянное электрическое поле, направленное горизонтально и параллельно плоскости. Оказалось, что при старте под углом к вектору напряженности электрического поля (см. рисунок) со скоростью шайба движется равномерно и прямолинейно. При небольшом изменении величины напряженности электрического поля направление, вдоль которого возможно равномерное движение шайбы, изменилось — теперь скорость должна быть направлена под углом к вектору . С какой скоростью должна двигаться шайба в этом случае?
Ответ на вопрос. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости шайбы, и ее работа равна нулю. Работа силы трения отрицательна, и она равна изменению механической энергии шайбы, то есть
Решение задачи. При движении с постоянной скоростью сумма приложенных к шайбе сил равняется нулю. Рассмотрим силы, параллельные плоскости. Это параллельная плоскости составляющая силы тяжести, направленная по «линии падения воды», горизонтальная сила со стороны электрического поля, сила трения скольжения, направленная против скорости, и сила Лоренца, перпендикулярная ей.
Условие равновесия сил в проекции на направление движения шайбы дает:
а в проекции на направление, перпендикулярное скорости,
Подставляя из первого уравнения во второе, находим, что
В последнем выражении учтены заданные значения и . Таким образом, с учетом значений :
Ответ. .
Указано, что сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости (малому перемещению)
Указано, что работа силы Лоренца равна нулю
Правильно используется закон изменения механической энергии шайбы
Дан правильный ответ
Правильно указаны все силы, действующие на шайбу
При движении с постоянной скоростью записано условие равенства нулю суммы проекций сил на плоскость
Величина выражена через , , и
Получено выражение для скорости равномерного движения через параметры системы
Записано уравнение, связывающее скорости двух разных равномерных движений
Получен правильный ответ