Робофест 2024, 9 класс, задача 4
Вопрос. У двух ламп одинаковые номинальные мощности, но при этом номинальное напряжение у первой в два раза больше, чем у второй. Во сколько раз отличаются сопротивления ламп при работе каждой в своем номинальном режиме?
Задача. Школьники решили к праздничному вечеру украсить квадратный зал гирляндами из ламп. По плану нужно было соединить гирлянд: четыре — по ламп — по периметру зала и две — по ламп — по его диагоналям. Питание всех гирлянд нужно было сделать от одного источника, который при любой нагрузке создавал на своих клеммах напряжение (по схеме, показанной на рисунке). При этом важно было добиться, чтобы все ламп светили одинаково. В распоряжении школьников было много ламп с одинаковыми КПД и одинаковыми номинальными мощностями, рассчитанных на разные номинальные напряжения, и оказалось, что необходимый набор ламп у них есть. Определите, каковы должны быть номинальные напряжения ламп в этом наборе и сколько ламп каждого типа нужно использовать. Каждая гирлянда состоит из ламп одинакового типа, и в «симметричных» парах гирлянд ( и , и ) лампы тоже одинаковы. Сопротивление соединительных проводов пренебрежимо мало.
Ответ
Ответ на вопрос. Мощность потребления лампы можно записать через напряжение и сопротивление:
Соответственно соотношение сопротивлений рассматриваемых ламп в номинальном режиме
Значит, сопротивление второй лампы в раза меньше, чем у первой.
Решение задачи. Ясно, что лампы гирлянды должны иметь номинальное напряжение
Пусть потенциал положительной клеммы источника равен , отрицательной , а — потенциал узла схемы, в котором соединяются гирлянды , и . Тогда потенциал «симметричного» по отношению к нему узла равен . Обозначим мощность, потребляемую любой лампой. Тогда сила тока через гирлянду определяется из закона Джоуля — Ленца как отношение потребляемой мощности к напряжению, и она равна
Аналогично
Уравнение непрерывности тока для узла с потенциалом дает:
Теперь легко находим:
Для гирлянды нужны такие же лампы, как для и .
Ответ. Нужно ламп с номиналом — для гирлянды , ламп с номиналом — для гирлянд , и , и ламп с номиналом — для гирлянд и .