Робофест 2023, 9 класс, задача 2
Вопрос. Тонкая металлическая пластина с двух сторон покрыта слоями одного и того же теплоизолирующего материала, причем слой «слева» от пластины в два раза толще, чем «справа». Слева от левого слоя поддерживается неизменная температура , а справа от правого слоя — неизменная температура . Чему равна установившаяся температура пластины? Ответ обосновать.
Задача. Через металлический брусок проходит трубка постоянного сечения, по которой можно пропускать воду. Брусок закреплен в воздухе на теплоизолирующих подставках. Температура воздуха в помещении поддерживается постоянной и равной . Если температуру воды в трубке на входе в брусок также поддерживать постоянной и равной , то в установившемся режиме (когда все температуры уже не изменяются) температура воды в трубке на выходе из бруска будет равна . Если при той же температуре воздуха в помещении начальная температура воды будет поддерживаться равной , то температура воды на выходе из бруска в установившемся режиме станет равна . Какой станет температура воды в трубке на выходе из бруска в установившемся режиме при той же температуре в помещении, если температуру воды в трубке на входе в брусок поддерживать равной ? Теплопроводность металла намного лучше, чем у воды или стенок трубки.
Ответ на вопрос. Металл намного лучше проводит тепло, чем теплоизолирующий материал, так что температуру тонкой пластины можно считать одинаковой во всех ее точках. В «установившемся» режиме потоки тепла через оба слоя теплоизолирующего материала одинаковы. По закону Фурье каждый поток прямо пропорционален разности температур по разные стороны от слоя и обратно пропорционален толщине слоя. Поэтому
Решение задачи. Для решения задачи нам нужно установить характер связи между температурой воды на входе в брусок в каждом случае , температурой окружающей среды и температурой воды на выходе из бруска . Ясно, что «в установившемся режиме» в единицу времени вода с плотностью и удельной теплоемкостью , текущая со скоростью по трубке с сечением , отдает количество теплоты , и это же количество теплоты за то же время должно проходить от воды к металлу бруска и от него к окружающему воздуху. Согласно закону Фурье, эти количества теплоты пропорциональны разностям температур соответствующих тел (металлический брусок «хорошо» проводит тепло, поэтому будем считать, что его температура примерно постоянна по его объему). Считая, что стенки трубки, по которой течет вода, всюду одинаковы, приходим к выводу что в формуле закона Фурье в качестве ее температуры нужно брать среднюю
Тогда, учитывая постоянство «геометрии системы:
где — температура бруска, , а и — постоянные величины. Мы обнаружили, что нужная нам связь — линейная, то есть имеет вид . Для двух заданных случаев это соотношение дает
Тогда
Следовательно, в третьем случае
Ответ. .
Указано (используется в решении), что в «установившемся» режиме потоки тепла через оба слоя одинаковы
Указано (используется в решении), что каждый поток прямо пропорционален разности температур по разные стороны от слоя и обратно пропорционален толщине слоя
Получен правильный аналитический ответ
Получена правильный численный ответ
Указано (используется в решении), что количества теплоты, за одно и то же время передаваемые от воды к металлу бруска и от него к окружающему воздуху, одинаковы
Для расчета количества теплоты, передаваемого от воды к металлу бруска, используется средняя температура воды
Показано, что связь с и — линейная
Найден нужный коэффициент линейной зависимости
Записано правильное выражение для
Получен правильный численный ответ для