Робофест 2023, 10 класс, задача 4
Вопрос. Точечный источник света поместили в главный фокус тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием . Под каким углом к ее главной оптической оси будет направлен после прохождения линзы луч от этого источника, упавший на линзу в точке на расстоянии от этой оси?
Задача. На бумаге в клетку частично изображено построение хода лучей через тонкую линзу. При этом сама линза и ее характерные точки отсутствуют: сохранилось только изображение участков двух лучей — до и после преломления в линзе. Восстановите положение главной оптической оси линзы и найдите ее оптическую силу. Длина стороны клетки равна .
Подсказка: оптический центр линзы и ее главные фокусы находятся в узлах «сетки».
Ответ на вопрос. Для построения преломленного луча для заданного падающего нужно построить параллельный падающему вспомогательный луч, проходящий через оптический центр линзы. В случае рассеивающей линзы продолжение преломленного луча должно пересекаться с вспомогательным в фокальной плоскости линзы (см. рисунок).
Тогда угол отклонения преломленного луча от ГОО линзы находится из соотношения
С учетом малости этой величины .
Решение задачи. Имеющиеся на рисунке отрезки лучей должны находиться по разные стороны от линзы (по условию) и, кроме того, луч, падающий на тонкую линзу, и луч, преломленный в ней, должны пересекаться в плоскости линзы. Нетрудно заметить, что возможен только один способ выбора пар падающий–преломленный луч, при котором точки пересечения задают положение плоскости линзы вдоль прямой (при другом выборе плоскость линзы пересекала бы падающие лучи). По характеру преломления лучей ясно, что эта линза — рассеивающая.
Продолжив до пересечения падающие лучи (точка ) и преломленные лучи (точка ) находим пару точек, в котором одна является изображением другой. Ясно, что соединяющая их прямая должна проходить через оптический центр линзы, поэтому центр расположен в точке , в которой пересекаются прямые и . Главная оптическая ось линзы проходит через перпендикулярно , причем оказывается, что как раз и является этим перпендикуляром. Итак, ГОО линзы — это .
Если провести через точку луч, параллельный любому из падающих лучей (пунктирные линии на рисунке), то он должен пересечься с продолжением преломленного луча в фокальной плоскости линзы (точки и — см. ответ на вопрос). Поэтому главный фокус линзы находится как пересечение и — это точка . Можно также найти одну из точек ( или ), и опустить перпендикуляр на , но по двум точкам построение точнее. Практически неизбежные при построениях вручную мелкие неточности при нахождении и можно скорректировать благодаря информации, что они находятся в узлах сетки. Расстояние между ними тоже считается «по клеточкам» клетки «по вертикали» и клеток «по горизонтали» дают для модуля фокусного расстояния линзы
Значит, оптическая сила линзы
Ответ. См. построение: ГОО линзы — это , .
Указано на возможность построения вспомогательного луча, проходящего через оптический центр линзы
Правильно и полностью описано построение преломленного луча
Явно приведено построение преломленного луча
Получен правильный ответ для величины тангенса угла
Получен правильный ответ для величины угла с учетом его малости
Правильно выбраны пары падающий–преломленный луч
Указано (используется в решении), что лучи каждой пары должны пересекаться в плоскости линзы
Правильно найдено положение плоскости линзы
Правильно найдено положение ГОО линзы
Правильно найдено положение оптического центра линзы
Правильно найдено положение фокуса линзы
Получен правильный численный ответ для