Робофест 2024, 11 класс, задача 4
Вопрос. Изображение маленького пламени свечи, расположенного на главной оптической оси тонкой линзы и перпендикулярного этой оси, наблюдается на экране с увеличением . При этом экран расположен на расстоянии от плоскости линзы. Чему равна оптическая сила линзы?
Задача. Легкая бусинка надета на гладкую натянутую по прямой под углом к горизонту струну. Бусинку отпускают без начальной скорости из точки, расположенной на высоте над горизонтальной главной оптической осью (ГОО) тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием . Струна пересекает ГОО на расстоянии от плоскости линзы. С какой скоростью пересекает ГОО изображение бусинки? Ускорение свободного падения .
Ответ на вопрос. Поскольку изображение пламени наблюдается на экране, то это изображение действительное, а линза — собирающая. Из формулы тонкой линзы
можно выразить расстояние от пламени до линзы через оптическую силу линзы и расстояние от линзы до экрана:
Модуль поперечного увеличения тонкой линзы равен отношению модулей расстояний от линзы до изображения и до источника, то есть
Для действительных изображений , и поэтому
Решение задачи. Модуль поперечного увеличения равен
и с учетом формулы линзы
При продольном расположении можно получить выражение для увеличения маленького предмета из той же формулы линзы:
Следовательно, продольное увеличение малого предмета (не «задевающего» переднюю фокальную плоскость собирающей линзы), равно квадрату его поперечного увеличения:
Эти формулы можно применить к бесконечно малым смещениям предмета и изображения, и тогда мы находим, что поперечная компонента скорости изображения
а ее продольная компонента
Значит,
С другой стороны, по закону сохранения энергии, бусинка пересекает ГОО линзы со скоростью
и в результате
Ответ. .
Указано (используется в решении), что изображение действительное
Указано (используется в решении), что линза собирающая
Записана формула для модуля поперечного увеличения через любую пару из трех величин , , (или )
Получено любое правильное уравнение, связывающее с модулем и
Получен правильный ответ
Используется формула для поперечного увеличения тонкой линзы
Доказано, что продольное увеличение для малого предмета равно квадрату поперечного
Формулы для увеличения компонент применяются к скорости изображения бусинки
Найдена скорость бусинки при пересечении ГОО
Получена формула, эквивалентная формуле из решения для через , , и
Получен правильный ответ