Робофест 2024, 9 класс, задача 1
Вопрос. Однородный стержень длины подвешен горизонтально на трех одинаковых легких практически нерастяжимых нитях, одна из которых («первая») прикреплена к стержню на расстоянии от его левого конца, вторая прикреплена к середине стержня, а третья — на расстоянии от правого конца. В состоянии равновесия все три нити практически вертикальны. Во сколько раз отличаются силы натяжения третьей и первой нити в этом состоянии?
Задача. В зазоре шириной между двумя вертикальными поверхностями из твердого пластика «заклинили» однородный металлический стержень длиной , расположив его в вертикальной плоскости. К стержню необходимо подвесить на легкой нити груз с массой, равной половине массы стержня. Известно, что деформации стенок зазора и стержня можно считать малыми, а деформации стержня — практически продольными (то есть стержень не изгибается, и сила упругости направлена вдоль его оси). Величина этой силы в раза больше действующей на стержень силы тяжести. Коэффициент трения между концами стержня с стенками зазора можно считать очень близким к . На каком расстоянии от «правой» (по рисунку) стенки зазора должна находиться точка прикрепления нити, чтобы после подвешивания груза стержень удержался в зазоре?
Ответ
Ответ на вопрос. В состоянии равновесия сумма моментов действующих на стержень сил равна нулю. Если записывать его относительно центра масс стержня (так как стержень однороден, то он совпадает с его серединой), то в это уравнение не войдут сила тяжести и сила натяжения второй нити, имеющие нулевые плечи относительно этой точки. Из условие ясно, что плечи сил натяжения первой и третьей нити равны и соответственно. Потому условие моментов дает:
Итак, сила натяжения третьей в полтора раза больше силы натяжения первой нити.
Решение задачи. Стержень покоится под действием силы тяжести, силы натяжения нити (равной весу груза) и сил, действующих со стороны стенок зазора.
Угол наклона стержня к горизонтали определяется из условия
Это означает, что
Кроме того, ясно, что силы нормальных реакций стенок уравновешивают перпендикулярную стенкам составляющую силы упругости стержня
Условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось дает
а правило моментов приводит к уравнению
из которого находим
и
Ограничения на величину силы трения
является более жестким для силы трения, действующей на нижний конец стержня:
Ответ. Точка подвеса груза должна находиться не далее трети ширины зазора от левой стенки.