Робофест 2024, 9 класс, задача 1
Вопрос. Однородный стержень длины подвешен горизонтально на трех одинаковых легких практически нерастяжимых нитях, одна из которых («первая») прикреплена к стержню на расстоянии от его левого конца, вторая прикреплена к середине стержня, а третья — на расстоянии от правого конца. В состоянии равновесия все три нити практически вертикальны. Во сколько раз отличаются силы натяжения третьей и первой нити в этом состоянии?
Задача. В зазоре шириной между двумя вертикальными поверхностями из твердого пластика «заклинили» однородный металлический стержень длиной , расположив его в вертикальной плоскости. К стержню необходимо подвесить на легкой нити груз с массой, равной половине массы стержня. Известно, что деформации стенок зазора и стержня можно считать малыми, а деформации стержня — практически продольными (то есть стержень не изгибается, и сила упругости направлена вдоль его оси). Величина этой силы в раза больше действующей на стержень силы тяжести. Коэффициент трения между концами стержня с стенками зазора можно считать очень близким к . На каком расстоянии от «правой» (по рисунку) стенки зазора должна находиться точка прикрепления нити, чтобы после подвешивания груза стержень удержался в зазоре?
Ответ на вопрос. В состоянии равновесия сумма моментов действующих на стержень сил равна нулю. Если записывать его относительно центра масс стержня (так как стержень однороден, то он совпадает с его серединой), то в это уравнение не войдут сила тяжести и сила натяжения второй нити, имеющие нулевые плечи относительно этой точки. Из условие ясно, что плечи сил натяжения первой и третьей нити равны и соответственно. Потому условие моментов дает:
Итак, сила натяжения третьей в полтора раза больше силы натяжения первой нити.
Решение задачи. Стержень покоится под действием силы тяжести, силы натяжения нити (равной весу груза) и сил, действующих со стороны стенок зазора.
Угол наклона стержня к горизонтали определяется из условия
Это означает, что
Кроме того, ясно, что силы нормальных реакций стенок уравновешивают перпендикулярную стенкам составляющую силы упругости стержня
Условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось дает
а правило моментов приводит к уравнению
из которого находим
и
Ограничения на величину силы трения
является более жестким для силы трения, действующей на нижний конец стержня:
Ответ. Точка подвеса груза должна находиться не далее трети ширины зазора от левой стенки.
Указано, что суммарный момент сил равен нулю
Правильно записаны следующие из условий равновесия уравнения, позволяющие найти искомое отношение сил натяжения
Эти уравнения сведены к одному уравнению для связи и (если уравнение моментов записано относительно ЦМ стержня, и одного этого уравнения хватает для анализа этой связи, то эти баллы ставятся автоматически)
Дан правильный ответ
Определено значение угла наклона стержня (через тригонометрические функции)
Указано (используется в решении), что силы нормальной реакции
Правильно записано условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось
Правильно записано уравнение условия равновесия моментов
Определено (используется в решении), что из условий на величину силы трения более жестким является для силы трения, действующей на нижний конец стержня
Записано правильное уравнение этого условия
Из условия на величину силы трения определяется ограничение на
Получен правильный ответ