Робофест 2024, 10 класс, задача 3
Вопрос. Ион с удельным зарядом движется по гиперболической орбите в поле небольшого шарика с зарядом , заряженного равномерно по поверхности. Ион влетел внутрь сферы радиусом (вокруг центра шарика) со скоростью . Пренебрегая излучением и силами сопротивления, найдите скорость, с которой ион вылетит из этой сферы.
Задача. Плоская поверхность из диэлектрика с составляет угол с горизонтом. У небольшой шайбы коэффициент трения о эту поверхность близок к . Если эта шайба начинает скользить по поверхности вверх вдоль линии падения воды со скоростью , то она остановится на высоте над точкой старта (по вертикали). Если в области пространства, в которой находится поверхность, создать однородное постоянное электрическое поле, то минимальная величина напряженности поля, при которой покоящаяся шайба придет в движение, равна . Если постоянное однородное поле с напряженностью будет направлено горизонтально параллельно поверхности, то при «запуске» шайбы по поверхности со скоростью существует такое направление начальной скорости, при котором шайба, пройдя по криволинейной траектории без отрыва от поверхности, остановится в точке, смещенной от точки запуска вдоль силовой линии на расстояние и вниз (по вертикали) на . Найдите путь шайбы от старта до остановки в этом случае.
Ответ на вопрос. Электростатические силы потенциальны, и потенциальная энергия иона в поле шарика зависит только от расстояния между ним и центром шарика. Если пренебречь излучением и диссипативными силами, то механическая энергия иона за время полета внутри сферы не изменится. Значит, останется прежней кинетическая энергия. Тогда и скорость иона не изменится — она останется примерно равной .
Решение задачи. Для запуска шайбы в отсутствие электрического поля кинетическая энергия шайбы переходит в ее потенциальную энергию в поле тяжести и теплоту, выделившуюся благодаря трению о поверхность. Значит,
Следовательно,
Минимальная напряженность поля, вызывающего скольжение шайбы, соответствует направлению поля вдоль линии падения воды:
и поэтому
При «последнем» из описанных запусков закон сохранения энергии дает:
откуда
Ответ.
Записан закон сохранения энергии для запуска шайбы в отсутствие электрического поля
Получена связь, эквивалентная
Записано условие начала скольжения при минимальной величине напряженности
Получена связь, эквивалентная
Записан закон сохранения энергии для «последнего» запуска
Все величины выражаются через и
Получен правильный ответ