Росатом 2022, 11 класс, задача 4
Однородную нерастяжимую веревку, лежащую на горизонтальной поверхности, медленно втягивают на гладкий полушар, закрепленный на поверхности, действуя на ее конец некоторой силой. Когда конец веревки оказывается в верхней точке полушара, веревка касается полушара участком , опирающимся на угол , а длина «висящего» участка веревки втрое меньше ее участка , лежащего на поверхности (см. рисунок). Найти коэффициент трения между веревкой и поверхностью. Какой горизонтальной силой нужно в этот момент действовать на конец веревки , если масса веревки , масса куска - ?
Решение.
Поскольку веревку втягивают медленно, в каждый момент времени сумма сил, действующих на нее (и на любую ее часть) равна нулю, но сила трения равна своему максимальному значению.
Рассмотрим условие равенства нулю сил, действующих на «висящий» кусок веревки . На него действуют: сила тяжести ( - масса куска веревки ), сила натяжения в точке и сила натяжения в точке (см. рисунок). Условие равенства нулю суммы сил в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси дает
Отсюда находим
На лежащий конец веревки действуют сила натяжения в точке (по величине такая же как (2), но противоположно направленная), сила тяжести ( - масса куска веревки ), сила реакции опоры и сила трения , причем величина последней силы равна своему максимальному значению . Условие равенства нулю суммы сил, действующих на кусок в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси дает
Отсюда и формулы (1) находим
или
Чтобы найти силу, с которой в этот момент действовать на точку рассмотрим условие равенства нулю всех сил, действующих на участок . Поскольку различные элементы этого участка по-разному взаимодействуют с полушаром, разобьем этот участок на малые элементы, запишем условие равенства нулю сил, действующих на каждый элемент. Для элемента, лежащего на кусочке полушара, наклоненном под углом в проекциях на ось, направленную вдоль элемента, получим
(где - масса этого элемента, и - силы натяжения сверху и снизу рассматриваемого элемента. Если просуммировать такие соотношения для всех элементов участка веревки, лежащего на полушаре, сократятся все силы, кроме искомой силы в точке и силы натяжения в точке . Сумму величин для всех элементов веревки можно вычислить так. Массу элемента можно представить как , где - линейная плотность веревки. А сумма величин есть проекция участка на вертикальное направление. Поэтому эта сумма есть
Поэтому условие равенства нулю суммы сил, действующих на элемент дает
Линейную плотность веревки можно выразить через массу веревки, лежащей на полушаре
( задан в радианах). Отсюда находим
С другой стороны, из формул (1)-(2) получаем
А массу участка найдем как
Отсюда получаем окончательно
Правильное условие равновесия куска веревки
Правильно найдена сила натяжения веревки в точке
Правильное условие равновесия куска веревки на полушаре
Правильный ответ для силы, с которой нужно действовать на конец веревки, находящийся в верхней точке полушара