Росатом 2022, 10 класс, задача 5

Очень сложная
Механика
Источник:
Олимпиада «Росатом» по физике, Заключительный этап, 2022, 10 класс

Имеется девять одинаковых невесомых блоков, пять из которых неподвижны (их оси прикреплены к горизонтальному потолку), четыре - подвижны и охватываются одной и той же невесомой нерастяжимой нитью. К осям подвижных блоков и к одному из концов нити, охватывающей блоки, прикреплены пять тел с одинаковой массой . Ко второму концу нити прикреплено тело массой . Найти ускорения всех тел.

Рисунок к задаче 5

Войдите, чтобы проверять ответы

Решение.

Пусть сила натяжения нити, охватывающей все блоки, равна . Тогда (поскольку блоки невесомы) на нижние тела действует сила натяжения . Поэтому второй закон Ньютона для нижних тел дает

где - проекция вектора ускорения этих тел на ось, направленную вертикально вверх (естественно, ускорения этих тел одинаковы). Второй закон Ньютона для левого и правого тел (также в проекциях на ось, направленную вертикально вверх) дают

Поскольку первое и последнее уравнение совпадают (они отличаются только множителем ), ускорения нижних тел и правого тела совпадают (и по величине и по направлению). А ускорение левого - отличается. Найдем связь этих ускорений. Если нижние тела и правое тело движутся вверх, то левое тело движется вниз. И наоборот. Поэтому знаки величин и - противоположны. Если нижние и правый грузы поднялись на величину , то освободилось нити левее самого левого блока, и, следовательно, левое тело опустилось на . Следовательно, левое тело в любой момент времени имеет в раз большую скорость, чем нижние тела и правое тела, и, следовательно, его ускорение в раз больше по величине ускорений нижних и правого тела. С учетом этих связей уравнения дают

Решая эту систему, находим ускорения нижних и правого тела

а затем из условия связи ускорений - ускорение левого тела

Поскольку проекции ускорений нижних и правого тел на ось, направленную вертикально вверх, оказались положительны, нижнее и правое тела имеют ускорения, направленные вертикально вверх и равные по величине

Ускорение левого тела направлено вертикально вниз и равно

1

Правильные уравнения второго закона Ньютона для всех тел

0.5
2

Доказательство, что ускорения правого и нижних тел одинаковы по величине и направлению

0.5
3

Правильная кинематическая связь ускорения левого тела и остальных тел

0.5
4

Правильные ответы для ускорений

0.5
Максимум: 2

Похожие задачи

Росатом 2025, 10 класс, задача 5

Жесткий стержень AB движется под действием некоторых сил так, что его концы A и B скользят по вертикальной стене и горизонтальному полу соответственно (см. рисунок). В некоторый момент времени, когда стержень составляет угол α градусов с полом, ускорение точки C, лежащей на расстоянии четверти длины
Очень сложная
Механика
Кинематика

Росатом 2023, 9 класс, задача 5

На очень длинной гладкой наклонной плоскости с углом наклона α удерживают прямоугольную коробку высотой h. В некоторый момент времени коробку отпускают, и она начинает скользить по плоскости. В этот же момент от верхнего края коробки начинает падать маленький упругий шарик (см. рисунок). Какой путь
Очень сложная
Механика
Кинематика

Росатом 2024, 11 класс, задача 5

Квадратная пластинка ABCD со стороной l движется так, что она все время остается в одной плоскости. Известно, что в некоторый момент времени ускорения вершин A, B и C соответственно равны: aA=a, aB=5a/4, aC=a. Найти ускорение вершины D. Квадратная пластинка ABCD
Очень сложная
Механика

Росатом 2026, 11 класс, задача 5

Два одинаковых точечных тела покоятся на горизонтальной поверхности на расстоянии l друг от друга. Тела связаны невесомой гибкой нерастяжимой нитью длиной 2l. В некоторый момент времени телам сообщили одинаковые по величине, но противоположно направленные скорости v. Эти скорости направлены перпенди
Очень сложная
Механика