Росатом 2023, 9 класс, задача 5
На очень длинной гладкой наклонной плоскости с углом наклона удерживают прямоугольную коробку высотой . В некоторый момент времени коробку отпускают, и она начинает скользить по плоскости. В этот же момент от верхнего края коробки начинает падать маленький упругий шарик (см. рисунок). Какой путь пройдет коробка по плоскости к моменту -го удара шарика о ее дно? Столкновения шарика с дном коробки упругие.
Решение.
Найдем сначала интервалы времени между ударами шарика о дно коробки. Поскольку между ударами шарик движется равноускоренно с ускорением свободного падения, поэтому для него справедливы законы движения
Проецируя уравнения движения на оси, направленные вдоль плоскости и перпендикулярно плоскости, получим
Поскольку в момент удара -координата тела равна нулю, время, прошедшее до первого столкновения тела с коробкой, определяет соотношением
а проекция скорости шарика на ось в момент удара равна
После отражения от дна проекция скорости шарика на ось поменяет знак, поэтому уравнение движения в проекции на ось, перпендикулярную плоскости со временем, отсчитанным от момента удара дает
Время до следующего удара, получим, приравнивая -координату шарика к нулю. Находим
(как и должно быть, это время оказалось вдвое большим времени, прошедшего от момента бросания до первого удара). Поэтому от начала движения шарика до шестого его столкновения с дном пройдет пять интервалов (2) и один интервал (1). Т.е. время
Найдем теперь путь, пройденный коробкой. Коробка также движется равноускоренно с ускорением , направленным вдоль плоскости. Поэтому зависимость координаты коробки от времени дается соотношением
Подставляя в эту формулу время (3), получим
Правильные законы равноускоренного движения
Правильное утверждение, что время между ударами определяется проекцией законов движения на ось, перпендикулярную плоскости
Правильное утверждение, что расстояние, пройденное коробкой между ударами, определяется проекцией движения на ось вдоль плоскости
Правильно найдено время шестого удара шарика о дно
Правильный ответ для расстояния, пройденного коробкой