Росатом 2023, 9 класс, задача 5
На очень длинной гладкой наклонной плоскости с углом наклона удерживают прямоугольную коробку высотой . В некоторый момент времени коробку отпускают, и она начинает скользить по плоскости. В этот же момент от верхнего края коробки начинает падать маленький упругий шарик (см. рисунок). Какой путь пройдет коробка по плоскости к моменту -го удара шарика о ее дно? Столкновения шарика с дном коробки упругие.
Ответ
Решение.
Найдем сначала интервалы времени между ударами шарика о дно коробки. Поскольку между ударами шарик движется равноускоренно с ускорением свободного падения, поэтому для него справедливы законы движения
Проецируя уравнения движения на оси, направленные вдоль плоскости и перпендикулярно плоскости, получим
Поскольку в момент удара -координата тела равна нулю, время, прошедшее до первого столкновения тела с коробкой, определяет соотношением
а проекция скорости шарика на ось в момент удара равна
После отражения от дна проекция скорости шарика на ось поменяет знак, поэтому уравнение движения в проекции на ось, перпендикулярную плоскости со временем, отсчитанным от момента удара дает
Время до следующего удара, получим, приравнивая -координату шарика к нулю. Находим
(как и должно быть, это время оказалось вдвое большим времени, прошедшего от момента бросания до первого удара). Поэтому от начала движения шарика до шестого его столкновения с дном пройдет пять интервалов (2) и один интервал (1). Т.е. время
Найдем теперь путь, пройденный коробкой. Коробка также движется равноускоренно с ускорением , направленным вдоль плоскости. Поэтому зависимость координаты коробки от времени дается соотношением
Подставляя в эту формулу время (3), получим