Росатом 2024, 11 класс, задача 5

Решение.

Если бы суммы внешних сил, действующих на пластинку, и их моментов равнялись бы нулю, то центр пластинки (совпадающий с ее центром масс) двигался бы с постоянной скоростью, а пластинка вращалась бы с постоянной угловой скоростью. В этом случае система отсчета, связанная с центром пластинки, являлась бы инерциальной, и ускорения всех точек пластины в нашей («лабораторной») системе отсчета были бы такие же, как и в системе отсчета, связанной с центром. Но в системе отсчета центра масс пластинка вращается вокруг центра, ускорения ее вершин являются центростремительными и одинаковыми по величине, поскольку вершины находятся на одинаковых расстояниях от центра.

А для данного в условии квадрата они разные. Следовательно, на пластинку действуют внешние силы, сумма которых и (или) сумма их моментов не равны нулю.

Пусть сумма внешних сил, действующих на пластинку, не равна нулю, а сумма их моментов равна нулю. Тогда центр масс пластинки движется с ускорением, а сама пластинка вращается вокруг центра масс с постоянной угловой скоростью. Поскольку для скоростей всех точек пластинки в любой момент времени справедливо соотношение

( - скорость некоторой точки пластинки в лабораторной системе, - скорость этой же точки в системе отсчета, связанной с центром масс, - скорость центра масс) то такое же соотношение будет справедливо и для ускорений:

где - ускорение некоторой точки пластинки в лабораторной системе, - ускорение этой же точки в системе отсчета, связанной с центром масс, - ускорение центра масс. Но поскольку в системе отсчета, связанной с центром масс пластинка вращается с постоянной угловой скоростью вокруг центра масс, ускорения всех вершин - центростремительные. А поскольку все вершины квадрата находятся на равных расстояниях от его центра, ускорения вершин в системе отсчета, связанной с его центром одинаковы по величине и направлены к центру квадрата. Это значит, что ускорение каждой вершины можно представить как сумму некоторого вектора, одинакового для всех вершин, и векторов, которые для каждой вершины одинаковы по величине и направлены к центру квадрата.

Пусть и сумма внешних сил, действующих на пластинку, и сумма их моментов не равны нулю. Тогда в системе отсчета, связанной с центром пластинки, пластинка будет вращаться с ускорением (т.е. угловая скорость вращения пластинки будет увеличиваться или уменьшаться). Поэтому ускорения вершин будут иметь и нормальную, и тангенциальную составляющие, причем из-за одинаковых расстояний от центра квадрата до всех четырех вершин и нормальные, и тангенциальные составляющие ускорений вершин одинаковы по величине и направлены - к центру квадрата (нормальная компонента ускорения), и параллельно скорости каждой вершины (тангенциальная компонента ускорения). А поскольку все эти направления перпендикулярны друг другу, то ускорение каждой вершины можно представить как сумму некоторого вектора, одинакового для каждой вершины (ускорения центра квадрата), и векторов, которые для каждой вершины одинаковы по величине и перпендикулярны друг другу.

Проведенные рассуждения показывают, что во всех ситуациях, когда на пластинку действуют внешние силы, ускорение вершин пластинки можно представить как сумму некоторого вектора, одинакового для каждой вершины (ускорения центра квадрата), и векторов, которые для каждой вершины одинаковы по величине и перпендикулярны друг другу. Используем это обстоятельство для нахождения ускорений вершин.

Так как ускорения вершин и одинаковы по величине, а векторы их ускорений в системе отсчета, связанной с центром квадрата, направлены противоположно друг другу, то сложение ускорений для этих вершин может быть только таким как это показано на рисунке . Т.е. векторы ускорения центра квадрата и векторы ускорений этих вершин относительно центра квадрата и должны быть перпендикулярны друг другу. А поскольку вектор ускорения вершины в системе отсчета, связанной с центром квадрата перпендикулярен векторам и , то он может быть либо параллельным, либо антипараллельным вектору . При этом, поскольку , то векторы и параллельны друг другу. Т.е. сложение ускорений для вершины может быть только таким, как это показано на рисунке .

Таким образом, для модулей векторов ускорения центра квадрата и каждой вершины квадрата в системе центра справедливы следующие соотношения. Либо

и тогда ускорение вершины равно

(тут следует поставить модуль, поскольку возможны разные соотношения величин ускорения центра и вершин, которые заранее нам неизвестны). Здесь - величина ускорения центра квадрата, - величина ускорения каждой вершины относительно центра.

Выражая из второго из уравнений величину и подставляя ее в первое уравнение, получим квадратное уравнение относительно

Решая это квадратное уравнение, найдем два набора корней системы :

Ускорение вершины получается одинаковым и для первого, и для второго набора корней системы