Росатом 2026, 11 класс, задача 5
Два одинаковых точечных тела покоятся на горизонтальной поверхности на расстоянии друг от друга. Тела связаны невесомой гибкой нерастяжимой нитью длиной . В некоторый момент времени телам сообщили одинаковые по величине, но противоположно направленные скорости . Эти скорости направлены перпендикулярно отрезку между телами (см. рисунок; вид сверху). Найти траекторию тел и её геометрические параметры, а также времена прохождения ее основных участков. Трения и каких-либо неупругих процессов нет.
Решение.
Пока тела не натянут нить, они движутся прямолинейно и равномерно. Нить натянется, когда углы между скоростями зарядов и соединяющей их прямой равны (см. рисунок, на котором этот угол показан только для одного из тел). Действительно в момент натягивания нити в треугольнике 12О (1 - первоначальное положение тела, 2 - его положение в момент натягивания нити, О - центр масс тел, который не должен двигаться, поскольку суммарный импульс системы равен нулю; здесь и далее крайние положения первоначально левого тела выделены зеленым, первоначально правого - красным).
В момент натягивания нити кратковременно возникнет сила натяжения, которая изменит составляющие скоростей тел, направленные вдоль нити, но не изменит перпендикулярных составляющих их скоростей. Для составляющих скоростей тел, параллельных нити справедливы законы сохранения импульса и энергии
где - составляющие скоростей тел, направленные вдоль нити до ее натяжения, - составляющие скоростей тел, направленные вдоль нити после ее натяжения (одинаковые для двух тел в силу симметрии задачи). Решая эту систему уравнений, получим два набора корней
Первый корень отвечает отсутствию взаимодействия, поэтому наш корень - второй, который означает, что после натягивания нити составляющие скоростей тел, параллельные нити, меняют знак, т.е. тела начинают двигаться навстречу друг другу. А с учетом того, что перпендикулярные нити составляющие скоростей не изменятся, это означает, что тела будут двигаться под углом к натянутой нити, но с другой стороны от нее (см. рисунок). Далее нить сомнется, и тела будут двигаться свободно до нового натягивания нити. В результате нового натягивания нити тела займут положения 3 и 3, показанные на рисунке, а нить в этом положении будет идти вдоль отрезка, соединявшего тела в самом начале.
После этого произойдёт новое взаимодействие тел через нить в результате которого составляющие их скоростей, направленные вдоль нити, поменяют направление, а перпендикулярные составляющие не изменятся. Поэтому тела будут двигаться под углами к направлению (см. рисунок), сомнут нить и будут двигаться свободно до ее следующего натягивания. Новое положение, в котором тела натянут нить, отмечено на следующем рисунке цифрами и . Нить в этом положении займет положение .
После этого произойдет новое взаимодействие тел через нить, в результате которого они начнут двигаться под углом к направлению , и далее движение будет повторяться.
Таким образом, каждое тело будет двигаться по сторонам равностороннего треугольника, причем движение тел происходит с постоянными скоростями (за исключением точек, в которых натягивается нить - в них скорости тел меняются). Эти треугольники показаны на рисунке зеленым (для того тела, которое было слева) и красным (для того тела, которое было справа). Последовательные положения тел отмечены точками (для левого тела) и (для правого). Пунктиром на этом рисунке показаны положения нити в те моменты, когда она натянута , и .
Найдем параметры траектории тел. Геометрически очевидно, что каждая сторона треугольника есть
Поэтому длина траектории для каждого тела есть
и, следовательно, тела проходят всю траекторию за время
Доказано, что в момент натягивания нити параллельные составляющие скоростей меняются на противоположные, а перпендикулярные не меняются. Комментарий. Если нет доказательства, что в момент натяжения нити тела обмениваются проекциями скоростей на направление нити, по первому критерию нужно ставить 0.
Доказано, что в момент первого натягивания нити скорости тел направлены под углом 30° к нити
Доказано, что после первого натягивания нити тела сминают нить и движутся под углом 30° к направлению нити в тот момент, когда она была натянута
Правильные траектории тел
Правильная длина траектории и время движения по ней