Лепёшка из ртути
На верхнее горизонтальное основание сплошного кругового цилиндра с площадью поперечного сечения аккуратно налили немного ртути. Краевой угол смачивания материала, из которого изготовлен этот цилиндр, равен . Коэффициент поверхностного натяжения ртути равен , плотность ртути равна . Ускорение свободного падения равно . Считайте, что параметры , , и удовлетворяют неравенству:
1. При каком минимальном значении объёма ртути она целиком покроет основание цилиндра?
На основание цилиндра наливают ртуть объёмом . Сверху аккуратно помещают второй цилиндр с таким же поперечным сечением, но изготовленный из другого материала, который полностью не смачивается ртутью. Считайте расположение цилиндров и ртути всё время осесимметричным.
2. При какой минимальной массе верхнего цилиндра ртуть будет контактировать с основанием нижнего цилиндра по всей площади его поверхности?
3. При какой минимальной массе верхнего цилиндра ртуть вытечет из зазора между цилиндрами? Считайте, что граница между основанием цилиндра и его боковой поверхностью является закруглённой (радиус закругления много меньше толщины слоя ртути) и выпуклой.
1. Неравенство из условия задачи позволяет считать верхнюю поверхность ртути практически плоской, а горизонтальный радиус ртутной «лепёшки» много большим, чем её толщина. Это даёт возможность определить толщину слоя ртути , рассматривая задачу как двумерную. Будем считать, что ртуть заполнила всю площадь основания цилиндра, но при этом не перешла на его боковую поверхность.
Рассмотрим участок слоя жидкости шириной и условие его равновесия в проекции на горизонтальную ось. Силы поверхностного натяжения на верхней и нижней границах, а также среднее гидростатическое давление дают:
Здесь
Поэтому
и толщина слоя
Когда ртуть заполняет всю поверхность основания цилиндра, её объём равен
2. Если поставить на ртуть цилиндр массой , то среднее давление в слое ртути складывается из гидростатического давления и давления, создаваемого верхним цилиндром:
где — площадь контакта ртути и поставленного на неё цилиндра. Условие равновесия сил, действующих на участок ртути единичной ширины, принимает вид
Так как , получаем
Ртуть полностью заполнит зазор между цилиндрами при , следовательно
3. При переходе границы ртути с основания нижнего цилиндра на боковую поверхность направление касательной к поверхности ртути поворачивается на . Нужно рассмотреть два случая.
Если , касательная к поверхности жидкости никогда не станет горизонтальной, поэтому максимальная горизонтальная компонента силы поверхностного натяжения будет равна
Из условия равновесия
и поэтому
Если , касательная к поверхности жидкости может стать горизонтальной, и максимальная горизонтальная компонента силы поверхностного натяжения равна
Тогда
Итак,