Поле цилиндра
Бесконечно длинный незаряженный металлический цилиндр радиуса расположен в однородном электрическом поле . Ось цилиндра и вектор напряженности поля горизонтальны и взаимно перпендикулярны (рис. 2). Напряженность поля направлена вправо. На поверхности цилиндра установилось некоторое распределение индуцированных зарядов.
Далее рассмотрим бесконечно длинный тонкостенный непроводящий цилиндр такого же радиуса вне поля вдали от первого (проводящего) цилиндра. Поместим на его поверхность заряды так, чтобы зависимость плотности заряда от угла к горизонту (рис. 3) совпадала для обоих цилиндров. Непроводящий цилиндр расположен горизонтально в поле тяжести. Ускорение свободного падения равно (рис. 3).
Поместим внутрь непроводящего цилиндра гладкий точечный положительный заряд массой .
1. Определите изменение суммарной потенциальной энергии точечного заряда (энергии в поле тяжести и в электрическом поле) при перемещении его из крайнего левого положения в крайнее правое.
2. Точечный заряд помещают в самое нижнее положение и сообщают ему начальную скорость , направленную влево, перпендикулярно оси цилиндра. Найдите максимальную скорость заряда в процессе дальнейшего движения.
3. При каких значениях точечный заряд совершит полный оборот?
Решение.
Электрическое поле внутри металлического цилиндра равняется нулю. Значит, заряды распределятся по его поверхности так, что создаваемое ими внутри цилиндра электрическое поле равно . Так как распределение зарядов на поверхности второго цилиндра такое же, как на первом, то внутри него создано однородное электрическое поле с напряженностью .
При перемещении точечного заряда из левой точки в правую уже сила тяжести не совершит работу. Изменение потенциальной энергии будет равно минус работе электрического поля:
Способ №1.
Введем декартову систему координат, связанную с центром цилиндра. Ось направим горизонтально вправо, а ось — вертикально вверх. Запишем функцию потенциальной энергии в зависимости от угла .
Обозначим
тогда
Введем угол
Легко заметить, что
тогда выражение для потенциальной энергии примет вид
Скорость будет максимальной в точке, где энергия минимальна. Минимум потенциальной энергии равен . Начальная потенциальная энергия равна .
Запишем закон сохранения энергии
Отсюда
Способ №2.
Поле силы тяжести и электростатическое поле однородны, поэтому на шарик будет действовать постоянная равнодействующая , направленная под углом к вертикали.
При действии постоянной силы потенциальная энергия определяется как , где ось направлена противоположно направлению силы. Запишем закон сохранения энергии
Минимальная потенциальная энергия будет в точке .
Отсюда
Способ №1.
Чтобы точечный заряд мог совершить полный оборот, его скорость в любой точке должна быть больше нуля, и сила реакции опоры со стороны оболочки также должна быть больше нуля.
Так как заряд находится в однородном поле сил, являющемся суммой поля тяжести и электрического поля, то максимум потенциальной энергии достигается в точке, где результирующая сила, действующая со стороны поля, перпендикулярна поверхности цилиндра. Запишем условие отсутствия отрыва
Выразим кинетическую энергию в этой точке
Запишем закон сохранения энергии
откуда
Способ №2.
Чтобы точечный заряд мог совершить полный оборот, его скорость в любой точке должна быть больше нуля, и сила реакции опоры со стороны оболочки также должна быть больше нуля.
Максимум потенциальной энергии достигается в точке , где результирующая сила, действующая со стороны поля, перпендикулярна поверхности цилиндра. Запишем закон сохранения энергии
где
Запишем условие отсутствия отрыва:
т.е.
или
Поле внутри металлического цилиндра равно нулю
Поле в незаряженном цилиндре равно
При перемещении по горизонтали работу совершает только электрическое поле
Модуль изменения потенциальной энергии
При перемещении потенциальная энергия увеличивается:
Получено выражение для потенциальной энергии в зависимости от положения или записана эквивалентная сила и определено ее направление
Найден угол относительно вертикали для положения, соответствующего максимальной скорости (т.е. минимальной потенциальной энергии)
Найдено минимальное значение для потенциальной энергии или изменение потенциальной энергии между начальной точкой и минимальной
Найдено . Примечание: пункт засчитывается только в случае, если ответ выражен через величины, данные в условии
Найден угол относительно вертикали для положения, соответствующего минимальной скорости (т.е. максимальной потенциальной энергии)
Найдено максимальное значение потенциальной энергии или изменение потенциальной энергии между начальной точкой и максимальной
Сформулировано утверждение, что для совершения полного оборота в любой точке
Записан второй закон Ньютона в точке отрыва:
Найдена минимальная скорость в точке возможного отрыва для движения без отрыва
Найдено . Примечание: пункт засчитывается только в случае, если ответ выражен через величины, данные в условии