Из архива ЦПМК
В архиве ЦПМК 2011 года была обнаружена задача, в которой описывалось довольно странное устройство для экспериментов с идеальным газом.
Закрытая снизу тонкостенная цилиндрическая трубка длиной , установленная вертикально, жёстко соединена с закреплённым цилиндрическим сосудом, ось которого также вертикальна, а диаметр во много раз превышает диаметр трубки (см. рис.).
Верхняя часть трубки расположена на расстоянии выше дна сосуда. В трубке без трения может перемещаться тонкий лёгкий герметичный поршень. Под поршнем находится воздух, который можно считать идеальным газом. В верхней части трубки расположены небольшие упоры, ограничивающие движение поршня вверх.
В стенке сосуда вблизи его дна проделано небольшое отверстие. С помощью тонкой трубочки через отверстие сосуд очень медленно наполняют ртутью, а затем так же медленно понижают уровень ртути в сосуде до его дна.
Далее везде обозначает уровень ртути в сосуде относительно верхней части трубки, а -- расстояние между поршнем и упорами. Считайте, что в процессе изменения уровня ртути в сосуде температура воздуха под поршнем и атмосферное давление остаются постоянными.
Параметры установки: , , атмосферное давление равно гидростатическому давлению столба ртути высотой , где -- плотность ртути, а -- ускорение свободного падения. Величины , и считайте неизвестными.
Во всех пунктах задачи приведите как аналитические выражения, так и численные значения для ответов.
Изначально ртути в сосуде и над поршнем нет, а давление воздуха под поршнем превышает величину атмосферного давления. В пунктах считайте, что когда уровень ртути в сосуде достиг максимального значения , расстояние между поршнем и упорами составило .
1. Рассмотрим процесс повышения уровня ртути в сосуде. При каком значении уровня ртути в сосуде поршень пришёл в движение?
2. Пусть уровень ртути в сосуде в процессе его повышения составил , где . Найдите возможные значения между поршнем и упорами.
3. На каком расстоянии до упоров будет находиться поршень, когда уровень ртути в сосуде понизится до его дна? Ответ обоснуйте.
4. Ртуть полностью откачали из сосуда и пространства над поршнем, после чего изменили количество воздуха под поршнем. Далее процессы повышения и понижения уровня в сосуде с помощью трубочки через отверстие повторили. Оказалось, что когда уровень ртути в сосуде достиг величины , расстояние между поршнем и упорами составило . При каком значении уровня ртути в сосуде в процессе его понижения поршень достигает упоров?
Решение.
1. Пусть -- отличие давления воздуха под поршнем от атмосферного в начале процесса. Поршень придёт в движение, когда давление ртути на поршень сравняется с избыточным давлением воздуха под поршнем, откуда:
Температура воздуха под поршнем может считаться постоянной. Поскольку нижняя часть трубы закрыта, количество воздуха под поршнем также будет оставаться постоянным. Тогда, если давление воздуха под поршнем обозначить за , его зависимость от определяется законом Бойля--Мариотта:
Пусть уровень ртути в сосуде равен . Тогда давление ртути на поршень составляет:
В положении равновесия давление воздуха под поршнем равно давлению ртути на поршень, поэтому:
Когда уровень ртути в сосуде достигает максимального значения , величина , получаем:
или с учётом :
2. Перепишем условие равновесия поршня в следующем виде:
Раскроем скобки и получим:
Обратим внимание, что при свободный член полученного квадратного уравнения является отрицательным, что следует из теоремы Виета, а значит уравнение имеет ровно один положительный корень. Тогда, поскольку нахождение поршня выше упоров не является возможным, при поршень имеет единственное положение равновесия. Так как , свободный член можно принять равным нулю. Сокращая решение , получим:
или же:
3. После того, как уровень ртути в сосуде окажется ниже верхней части трубы, положение равновесия поршня перестанет изменяться. Решим квадратное уравнение, получаемое из условия равновесия поршня, при :
Таким образом, когда уровень ртути в сосуде понизится до практически нулевого, поршень имеет два положения равновесия и расположится в том из них, которое является устойчивым. Проанализируем оба найденных положения равновесия поршня на устойчивость.
Положение равновесия поршня является устойчивым, если при повышении расстояния между ним и упорами давление воздуха под поршнем становится выше, чем давление ртути на поршень. Если расстояние между поршнем и упорами увеличилось на малую величину , то условия устойчивости положения равновесия поршня можно записать следующим образом:
Используя условие равновесия, получим:
С учётом малости имеем:
Определим значения , при которых положения равновесия поршня является устойчивым:
Таким образом, положение равновесия является неустойчивым, а -- устойчивым. Отметим, что при положение также является положением равновесия, поскольку для данного положения давление воздуха под поршнем будет выше, чем давление ртути на поршень, равное атмосферному. Однако, пока поршень не окажется на расстоянии от упоров, он всегда будет располагаться в устойчивом положении равновесия. При этом величина монотонно возрастает с увеличением уровня ртути в сосуде. Поскольку найденная при величина , то поршень в процессе понижения уровня ртути в сосуде всегда расположен в положении устойчивого равновесия и не может его покинуть. Таким образом, конечному положению поршня соответствует следующая величина :
Примечание: Исследование на устойчивость положений равновесия поршня можно осуществить не только аналитически, но и графически. Для этого построим график зависимости (чёрная линия на рис.), а поверх него -- прямые при различных значениях , где давления измеряются в миллиметрах ртутного столба. Точки пересечения графиков функций и соответствуют положениям равновесия поршня. Если вблизи точки пересечения с увеличением функция возрастает на большую величину, чем функция , то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена противоположно смещению поршня, и, следовательно, положения равновесия будет являться устойчивым. Если же вблизи точки пересечения с увеличением функция возрастает на меньшую величину, чем функция , то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена вдоль смещения поршня, и, следовательно, положение равновесия поршня будет являться неустойчивым. Из рисунка видно, что при все положения равновесия поршня являются устойчивыми, а положение равновесия при является неустойчивым. Если мы рассмотрим случай (красная прямая на графике), то точка пересечения соответствует неустойчивому, а -- устойчивому положению равновесия.
4. Используя результаты решения первого пункта, определим величину , при которой поршень приходит в движение:
Запишем условие равновесия поршня:
Решению соответствует величина . Однако при решении второго пункта мы получали, что при у поршня существует второе положение равновесия на расстоянии от упоров, равном:
Данное положение является устойчивым, что можно показать, используя критерий устойчивости положения равновесия, полученный при решении четвёртого пункта:
Данное условие выполнено при , поэтому в процессе понижения уровня ртути в сосуде поршень не достигает упоров при .
При последующем понижении уровня ртути в сосуде у поршня есть два положения равновесия, одно из которых является устойчивым, а другое -- неустойчивым. Пока расстояние между поршнем и упорами удовлетворяет условию , поршень располагается в положении устойчивого равновесия. Когда расстояние между поршнем и упорами станет равны , два положения равновесия поршня, одно из которых является устойчивым, а второе -- неустойчивым, совпадут и станут единым положением неустойчивого равновесия по отношению к смещению в сторону упоров. Данное положение соответствует касанию на графиков зависимостей и , приведённых в примечании к решению четвёртого пункта задачи. Из этого же графика видна неустойчивость данного положения равновесия поршня по отношению к смещению в сторону упоров.
Таким образом, если при некотором значении поршень оказывается в положении , то при данном значении во всех положениях, кроме , давление воздуха под поршнем будет больше, чем давление ртути на поршень (см. рис. ниже), поэтому поршень скачкообразно перемещается в сторону упоров и при дальнейшем понижении уровня ртути в сосуде от них не оторвётся.
Учтём, что касание графиков соответствует наличию единственного корня у квадратного уравнения, получаемого из условия равновесия поршня. Воспользуемся теоремой Виета:
После подстановки в выражение для находим: