Постоянный ток
В упрощённой модели источник постоянного тока состоит из соединённых последовательно идеального источника постоянного напряжения и резистора с сопротивлением (см. рис. 1). При подключении источника постоянного тока в цепь, содержащую резисторы с сопротивлением , можно считать, что сила тока . Электрическая цепь представляет собой проволочную сетку, которая состоит из звеньев одинакового сопротивления . Три звена заменены на одинаковые источники постоянного тока (см. рис. 2).
Найдите, через какие звенья цепи течёт минимальный ток, и чему равна его сила . Ответ выразите только через .
Ответ
Первое решение:
Заметим, что схема переходит сама в себя при повороте на вокруг центрального узла. У всех источников постоянного тока один узел общий, а вторые узлы подключены к эквипотенциальным точкам. Значит через источники протекают одинаковые токи, при этом равные , поскольку .
Также из симметрии следует, что должны быть равны и токи , втекающие в центральный узел.
Алгебраическая сумма токов для центрального узла равна , значит .
Расставим токи, текущие через элементы цепи, находящиеся в вершине , в силу симметрии такие же токи протекают через элементы, находящиеся в вершинах и .
Пусть через каждый из оставшихся элементов цепи протекает некоторый ток . Так как схема симметрична, потенциалы узлов и равны, тогда разность потенциалов . Или
Тогда
Второе решение:
Расставим токи по перемычкам цепи . Потенциал в центральной точке цепи примем равным нулю. Запишем разность потенциалов между узлами 3 и 1:
В силу симметрии цепи (при повороте на цепь переходит сама в себя) поэтому
Запишем закон сохранения заряда для узла 1: