Электротетраэдр

Решение.

1. Первое решение:

Для определения величины силы тока, текущего через первый источник, воспользуемся методом эквивалентного источника. Всю оставшуюся часть тетраэдра, подключённую к выводам и первого источника, можно заменить одним эквивалентным источником с внутренним сопротивлением и ЭДС . При этом эквивалентная схема для определения силы тока, текущего через первый источник, будет выглядеть так, как показано на рис. 1.

Сразу найдём сопротивление эквивалентного источника , подключенного к узлам и . Для этого заменим второй источник идеальной перемычкой и рассчитаем сопротивление моста между узлами и :

Величина силы тока , текущего через первый источник, определяется выражением:

Пусть верхний индекс соответствует величине силы тока через источник при изменённой на противоположную полярности его подключения. Тогда:

Из данного выражения видно, что независимость от полярности подключения первого источника величины силы текущего через него тока возможно, если . Поймём, при каком условии это возможно. ЭДС эквивалентного источника равна показаниям идеального вольтметра, подключённого в цепь к узлам и вместо первого источника. Показания вольтметра будут равны нулю, если мост, составленный из резисторов с сопротивлениями , , и будет сбалансирован, откуда получим связь между сопротивлениями резисторов:

Таким образом, сила тока, текущего через первый источник, равна .

Теперь определим силу тока, текущего через второй источник, вновь используя метод эквивалентного источника. Всю оставшуюся часть тетраэдра (включая первый источник), подключённую к выводам и второго источника, заменим эквивалентным источником с внутренним сопротивлением и ЭДС . При этом эквивалентная схема для определения силы тока, текущего через второй источник, будет выглядеть так, как показано на риc. 2.

Величина силы тока , текущего через второй источник, определяется выражением:

Обозначим силу тока, текущего через второй источник при изменённой полярности подключения первого источника, за . Поскольку , величина определяется выражением:

Сразу найдём сопротивление эквивалентного источника , подключённого к узлам и . Для этого заменим первый источник идеальной перемычкой и рассчитаем сопротивление моста между узлами и :

ЭДС эквивалентного источника равна показаниям идеального вольтметра, подключённого в цепь к узлам и вместо второго источника. Показания вольтметра будут равны нулю, поскольку мост является сбалансированным и для подключения вольтметра вместо второго источника. Действительно:

Таким образом, величина силы тока, текущего через второй источник и равная , не зависит от полярности подключения первого источника, а значит:

Второе решение:

Воспользуемся методом наложения токов. Будем искать силы токов в ветвях цепи как суперпозицию сил токов, текущих в данных ветвях под действием одного источника, при условии, что другой источник в силу его идеальности заменён идеальной перемычкой.

Пусть перемычкой заменён второй источник. Обозначим силы токов, текущих через первый и второй источники при этом, за и соответственно (см. рис. 3). Тогда при смене полярности подключения первого источника направление тока , текущего через него, изменится на противоположное, а величина силы тока останется неизменной.

Теперь перемычкой заменим первый источник. Обозначим силы токов, текущих через первый и второй источники при этом, за и соответственно (см. рис. 4).

Если сила тока , текущего в перемычке под действием второго источника, не равна нулю, то сохранение величины силы полного тока через первый источник при смене его полярности невозможно. Значит, сила тока , текущего в перемычке под действием второго источника, равна нулю. Это возможно, только если мост является сбалансированным. Тогда имеем следующее соотношение между сопротивлениями:

Обратим внимание, что данное условие также является условием балансировки моста, к которому подключён первый источник, когда второй заменён перемычкой . Значит, сила тока , текущего в перемычке под действием первого источника, также равна нулю. Отсюда можно сделать вывод, что силы токов, текущих через первый и второй источники, определяются только величинами ЭДС соответствующих источников и полярностями их подключений. Таким образом, сила тока , текущего через второй источник при смене полярности подключения первого источника, равна:

Третье решение:

Расставим в исходной схеме токи с учётом закона сохранения заряда. В данной схеме есть 3 независимых тока, поэтому достаточно ввести лишь 3 силы тока , и (см. рис. 5).

Применим второе правило Кирхгофа к контуру :

Применим второе правило Кирхгофа к контуру :

Применим второе правило Кирхгофа к контуру :

Исключая , получим следующую систему уравнений относительно и :

Выразим из первого уравнения системы и подставим во второе:

Отсюда:

Аналогично выразим из первого уравнения системы и подставим во второе:

Отсюда:

Рассмотрим выражение для силы тока . Поскольку при изменении полярности подключения первого источника величина силы тока, текущего через него, не изменяется, коэффициент при равен нулю. Отсюда:

Обратим внимание, что в выражении для силы тока коэффициент перед также равен нулю. Действительно:

Таким образом, величина силы тока , текущего через второй источник при смене полярности подключения первого источника, равна:

2. Первое решение:

Величины сил токов и в случаях "а" и "б" соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам и второго источника:

Поскольку мост является сбалансированным, удаление перемычки не приведёт к изменению сопротивления моста между узлами и . Тогда сопротивления моста и будут одинаковыми и равными сопротивлению эквивалентного источника , найденному при решении первого пункта, т.е. . Тогда, поскольку :

Второе решение:

Величины сил токов и в случаях "а" и "б" соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам и второго источника:

Поскольку мост является сбалансированным, удаление перемычки не приведёт к изменению сопротивления моста между узлами и . Тогда сопротивления моста и будут одинаковыми, значит . Из решения первого пункта следует:

Тогда замена первого источника перемычкой не изменит величину силу тока , поскольку величина найдена для схемы, которую предлагается рассмотреть в случае "б" (см. рис. 4). Таким образом:

Третье решение:

Величина силы тока, текущего через источник в исходной схеме, определяется выражением:

Величины сил токов и в случаях "а" и "б" соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам и второго источника:

Сопротивление определяется выражением:

откуда следует, что . Поскольку , при подключении второго источника к узлам и мост является сбалансированным при наличии перемычки . Тогда удаление перемычки не изменит сопротивления между узлами и , т.е . Таким образом:

3. Силы токов и , текущих через первый и второй источники соответственно, определяются выражениями:

Введём два обозначения:

Тогда , и для сил токов и , текущих через первый и второй источники соответственно, имеем:

Перемножая почленно эти равенства, получим, что

Заметим, что из условия задачи следует:

Тогда из этого соотношения и выражений для и получаем

Раскроем скобки:

Учитывая, что , имеем . Тогда находим: