ВсОШ 2025, Муницип, 11 класс, задачи 13–16
Три одинаковых маленьких шарика массой каждый имеют заряды . Шарики расположены на гладкой горизонтальной диэлектрической поверхности и соединены двумя непроводящими лёгкими нерастяжимыми нитями длиной . В начальном положении шарики находятся на одной прямой так, что нити натянуты (см. рис.). Центральный шарик очень быстро приводят в движение с постоянной скоростью , направленной в начальный момент времени перпендикулярно нитям. Движение этого шарика поддерживается при помощи внешней силы, которая в любой момент времени такова, что он движется равномерно и прямолинейно. Магнитным взаимодействием шариков можно пренебречь. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона равен
1. На какое минимальное расстояние сблизятся крайние шарики в процессе движения? Ответ дайте в сантиметрах с точностью до целого числа.
2. Какую работу совершила внешняя сила, действующая на центральный шарик, от момента сразу после начала его движения до момента максимального сближения крайних шариков? Ответ дайте в джоулях с точностью до десятых долей.
3. Каков модуль силы натяжения каждой из нитей в момент максимального сближения крайних шариков? Ответ дайте в ньютонах с точностью до десятых долей.
4. В момент максимального сближения крайних шариков одну из нитей быстро пережигают. Определите модуль ускорения «освободившегося» шарика сразу после пережигания нити. Ответ дайте в с точностью до десятых долей.
Ответ.
1. .
2. .
3. .
4. .
Решение.
1. Перейдём в ИСО, связанную с центральным зарядом. В этой ИСО центральный заряд покоится, а крайние в начальный момент имеют скорости , направленные перпендикулярно нитям. В момент сближения крайних зарядов на минимальное расстояние оба крайних заряда останавливаются. В данной ИСО центральный заряд не перемещается, а значит, внешняя сила не совершает работы, силы натяжения перпендикулярны скоростям крайних зарядов — их мгновенная мощность нулевая, а силы Кулона являются потенциальными силами, следовательно, в данной системе отсчёта мы имеем право воспользоваться законом сохранения энергии.
В соответствии с законом сохранения энергии:
Отсюда
2. В лабораторной системе отсчёта центральный заряд перемещается, следовательно, работа внешней силы ненулевая. В соответствии с условием энергетического баланса:
Отсюда получаем:
3. В момент максимального сближения: в лабораторной СО — скорости шариков одинаковы; в ИСО центрального заряда — скорости шариков равны нулю. Это означает, что центростремительное ускорение крайних зарядов равно нулю в этот момент, следовательно, из второго закона Ньютона в проекции на направление вдоль нити можем получить:
4. Ускорение «освободившегося» заряда определяется равнодействующей сил и :
С использованием теоремы косинусов получаем:
Максимальный балл за задачу