ВсОШ 2025, Муницип, 11 класс, задачи 20–22
Одна из обкладок плоского воздушного конденсатора закреплена неподвижно, а вторая прикреплена к стенке при помощи пружины и может двигаться в направлении, перпендикулярном пластинам (см. рис.). Конденсатор подключён к электрической цепи, состоящей из идеального источника постоянного напряжения , ключа , резистора сопротивлением и переключателя . Начальное расстояние между обкладками составляет , площадь обкладки , масса обкладки . В начальном состоянии ключ разомкнут, пружина не деформирована. При движении правой обкладки она остаётся подключённой к цепи. Электрическая постоянная равна .
1. Определите жёсткость пружины, если известно, что после замыкания ключа и перехода системы в новое положение равновесия расстояние между обкладками уменьшилось на . Ответ дайте в с точностью до десятых долей.
2. Найдите минимальное расстояние между обкладками конденсатора в процессе перехода к новому положению равновесия. Ответ дайте в с точностью до десятых долей.
3. После перехода системы в новое положение равновесия переключатель перевели в положение . Оцените, какое количество теплоты выделилось после этого в резисторе? Ответ дайте в с точностью до десятых долей.
Ответ.
1. .
2. .
3. .
Решение.
1. Зависимость ёмкости конденсатора от смещения подвижной обкладки:
Заряд конденсатора:
Напряжённость электростатического поля, создаваемого одной обкладкой:
Получаем выражение для силы, действующей на обкладку конденсатора, в зависимости от её смещения:
Условие равновесия подвижной обкладки:
Отсюда жёсткость пружины:
2. После замыкания ключа к моменту протекания через источник заряда и смещения пластины на расстояние условие энергетического баланса выглядит следующим образом:
В момент, когда расстояние между обкладками минимально (или максимально), скорость подвижной пластины равна .
На данном этапе сокращаем на тривиальный корень , соответствующий максимальному расстоянию между пластинами, и после преобразований полученного выражения получаем квадратное уравнение:
Решая уравнение, получаем:
Выбираем корень со знаком «минус», поскольку на участке кинетическая энергия подвижной обкладки положительна. При кинетическая энергия подвижной обкладки становится отрицательной, что физически невозможно.
Таким образом, минимальное расстояние между обкладками конденсатора:
3. В системе запасена энергия в конденсаторе и в пружине:
Как понять, вся ли эта энергия выделится в виде теплоты в резисторе?
С точки зрения подробного анализа происходящего необходимо было бы рассмотреть уравнение движение подвижной пластины и -е правило Кирхгофа для контура из конденсатора и резистора:
Эта система уравнений сложна для решения, поэтому попробуем оценить характерные времена разрядки конденсатора и возвращения пластины в исходное положение только лишь под действием силы упругости в отсутствие заряда.
Оценим время разрядки конденсатора:
Это означает, что конденсатор успевает полностью разрядиться через резистор быстрее, чем пластина успевает существенно сместиться. Таким образом, в резисторе выделяется только часть энергии, запасённая в конденсаторе,
а пластина на пружине после этого движется только под действием силы упругости.
Максимальный балл за задачу