Полусферический конденсатор
Две металлические полусферы радиусами и (), плоскости оснований которых горизонтальны, а центры совпадают, подключены к источнику, напряжение которого может изменяться.
Суммарный заряд полусфер равен нулю. В центр полусфер на маленькую диэлектрическую подставку помещают точечный заряд массой , который может перемещаться по вертикальной спице без трения по направлению «вверх». Изначально напряжение на источнике равняется нулю, и его начинают медленно увеличивать. Можно пренебречь краевыми эффектами и считать, что заряды полусфер равномерно распределены по их поверхностям. Ускорение свободного падения равно .
1. Рассмотрим вспомогательную задачу. Полусфера радиусом заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда . В центре полусферы расположен точечный заряд . Найдите силу взаимодействия заряда и полусферы. Вернёмся к полусферическому конденсатору.
2. Найдите заряд меньшей из полусфер при напряжении на источнике равном . Считайте, что точечный заряд при этом остается в центре полусфер.
3. Напряжение источника медленно увеличивают. Найдите, при каком заряде меньшей полусферы заряд начнет перемещаться. Чему при этом будет равно напряжение источника ?
4. Найдите изменение электростатической энергии системы в процессе медленного увеличения напряжения источника от В до .
Примечание: используйте приближение при .
1. Сила взаимодействия заряда и полусферы направлена вдоль оси вращения. Пусть — угол между осью вращения и линией, проведённой из центра полусферы в её некоторую точку, а — малый элемент поверхности полусферы вблизи данной точки.
Тогда получим:
Далее возможны два варианта рассуждений.
Первое решение: величина представляет собой проекцию элемента площади на основание. Поскольку величина постоянна, суммирование проводится следующим образом:
где — площадь круга в основании полусферы. Подставляя, находим:
Второе решение: рассмотрим взаимодействие заряда с тонкой кольцевой полоской. Для её площади имеем:
где — радиус полоски, а — её ширина. Отсюда:
Учитывая, что , получим:
Интегрируя, находим:
2. Определим заряд на полусферах при напряжении источника . Поскольку , электрическое поле заряда в зазоре между полусферами можно считать постоянным по модулю и равным . Тогда напряжение, создаваемое зарядами полусфер, равно:
Обратим внимание, что эта величина также постоянна. Опишем два способа определения электрического поля в зазоре.
Первое решение: мысленно достроим полусферы до сфер, равномерно заряженных по поверхности одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами . Тогда внутри сферы радиусом электрическое поле равняется нулю во всех точках, а в зазоре между ними электрическое поле равняется:
Поскольку , создаваемое добавленными полусферами электрическое поле пренебрежимо мало по сравнению с полным электрическим полем , поскольку при достаточно больших расстояниях от краёв эти полусферы ведут себя как одна с нулевым суммарным зарядом.
Второе решение: поскольку радиусы сфер велики по сравнению с толщиной в зазоре и поскольку суммарный заряд системы равен нулю, электрическое поле в зазоре между полусферами с хорошей точностью можно приблизить электрическим полем внутри плоского конденсатора, поскольку поверхностные плотности заряда на полусферах по модулю практически совпадают. Отсюда:
Воспользовавшись выражением для электрического поля в зазоре, получим:
откуда находим:
3. Поскольку заряды полусфер равны , а их площади равны соответственно и , для силы электростатического взаимодействия заряда с полусферами находим:
В момент начала движения , откуда находим заряд , при котором заряд начинает движение:
Подставляя связь и , для напряжения получим:
4. Для определения изменения электростатической энергии системы можно использовать два подхода — закон изменения энергии и вычисление её каждой компоненты.
Первое решение: поскольку напряжение между обкладками изменяется медленно, изменение электростатической энергии системы равняется работе источника по перемещению зарядов между обкладками. Для её определения построим график зависимости .
При нулевом напряжении на источнике заряды на полусферах равна . Работа источника равна площади под этим графиком при изменении заряда полусфер от величины до величины . Эта площадь, в свою очередь, равна площади треугольника со сторонами и . Таким образом:
и окончательно:
Второе решение: электростатическая энергия системы складывается из энергии взаимодействия полусфер друг с другом и энергии взаимодействия полусфер с зарядом .
Выражение для энергии полусфер совпадает с выражением для энергии конденсатора:
Энергия взаимодействия одной полусферы с зарядом и радиусом с точечным зарядом , расположенным в её центре, равна:
откуда:
Тогда выражение для электростатической энергии системы :
Подставляя связь и , находим:
Таким образом, выражение для изменения электростатической энергии системы следующее:
Третье решение: рассмотрим произвольную систему точечных зарядов. Пусть — точечный заряд с номером , а — потенциал, создаваемый остальными зарядами в месте расположения заряда . Тогда потенциальная энергия -го заряда в поле остальных равняется:
Если просуммировать величины , то полученная сумма будет равна удвоенной электростатической энергии системы , поскольку в данной сумме каждое взаимодействие учитывается два раза. Таким образом:
Применяя последнее соотношение, получим:
где и — потенциалы на поверхностях полусфер с зарядами и соответственно, а — потенциал поля полусфер в их центре. Имеем:
Подставляя связь и , находим:
Тогда для изменения электростатической энергии имеем:
Утверждение о том, что сила взаимодействия направлена вдоль оси полусферы
Корректное использование принципа суперпозиции.
Записано выражение для осевой компоненты силы взаимодействия заряда с элементом площади полусферы: .
Метод 1. Указано, что величина равна проекции элемента площади на основание полусферы.
Метод 1. Площадь основания равна .
Метод 2. Записано выражение для элемента площади кольца: .
Метод 2. Записано выражение для силы в виде интеграла: .
Получено .
Указано или используется, что между полусферами возникает дополнительное напряжение, создаваемое зарядом .
Правильное соотношение для напряжения между полусферами с учетом их зарядов и заряда : .
Определено напряжение, создаваемое зарядом между полусферами: .
Указано (или использовано), что поле в зазоре одинаково по модулю во всех точках.
Определена величина электрического поля зарядов полусфер в зазоре: .
Найдена величина заряда: .
Записано условие начала движения заряда : .
Записано выражение для силы: .
Найдена величина .
Найдена величина .
Метод 1. Записан закон изменения энергии системы: .
Метод 1. Работа источника равна площади под графиком .
Метод 1. Получено аналитическое выражение для или построен график.
Метод 1. Получена формула для работы источника: .
.
Метод 2. Энергия представлена как сумма энергий конденсатора и взаимодействия с зарядом .
Метод 2. Записано выражение для энергии конденсатора: .
Метод 2. Получено выражение для энергии взаимодействия заряда с полусферами: .
Метод 2. Получено выражение для энергии системы: .
Получено выражение .
Метод 3. Записано выражение для энергии системы точечных зарядов: .
Метод 3. Записано .
Метод 3. Найден потенциал: .
Метод 3. Записано либо найдены и .
Получено выражение .
Найдена величина .