Замерзающие капли
При температурной инверсии график зависимости температуры воздуха вблизи поверхности Земли от высоты может иметь вид, показанный на рисунке линией чёрного цвета увеличенной толщины. Пусть капля, имеющая форму шара, движется вниз с постоянной скоростью под действием силы тяжести и силы
сопротивления воздуха. На высоте температура капли оказывается равна . В процессе дальней- шего падения часть капли (или вся капля) превращается в лёд вследствие теплообмена с холодным атмосферным воздухом. Мощность теплообмена и сила сопротивления воздуха даются формулами , , где — площадь поверхности капли, и — некоторые константы, и -- температуры окружающего воздуха и капли (на одной высоте), — скорость капли. Рассмотрим две капли. Радиус первой капли в раз меньше радиуса второй. В процессе падения с высоты км первой капли четверть её массы превращается в лёд. Какая часть массы второй капли превратится в лёд? Считайте теплопроводность льда высокой, так что температура всех точек капли остаётся одинаковой, пока капля полностью не превратилась в лёд. Изменением радиуса капли при её частичном превращении в лёд можно пренебречь.
Ответ
Решение
Обозначим — разность температур капли и окружающей среды на высоте (большая буква используется для обозначения разности температур, чтобы избежать путаницы с временем). Пусть за малое время замерзает небольшая масса капли , тогда справедливо соотношение . Пусть скорость капли равна , тогда это соотношение можно переписать в виде . (8) При суммировании выражений, стоящих в правой части формулы (8), получается величина, численно равная площади фигуры, ограниченной графиком профиля температуры, осями абсцисс и ординат. Эта площадь не зависит от размера капли и скорости её падения. Таким образом, суммарная масса, превращающаяся в лёд в процессе падения, пропорциональна площади её поверхности и обратно пропорциональна скорости падения . (9) Символ «» означает пропорциональность. Скорость падения определяется из равенства силы сопротивления и силы тяжести: . (10) Комбинируя соотношения (9), (10), и учитывая, что масса капли пропорциональна , получаем для доли замерзающей массы соотношение . (11) Из формулы (11) следует, что доля массы большой капли, превращающаяся в лёд, равна . Ответ: .