Баллон на платформе
Тележка установлена на горизонтальных прямолинейных рельсах и может двигаться по ним без сопротивления. На тележке закреплён сосуд цилиндрической формы, ось которого параллельна рельсам. Длина цилиндра и его радиус равны и соответственно. Масса тележки с пустым сосудом равна . Сосуд заполняют идеальным газом массой при температуре . Одно основание сосуда поддерживают при температуре . Температура другого основания в начальный момент также равна , но затем её медленно увеличивают до величины (при этом известно, что ). Боковая поверхность сосуда теплоизолирована.
Введём ось , направив её вдоль оси цилиндра от основания с температурой к основанию с температурой . Пусть начало координат совпадает с основанием цилиндра с температурой . Задачу решайте приближённо, пренебрегая всеми слагаемыми, пропорциональными квадрату малого параметра и его старшим степеням. Можно использовать приближённую формулу , справедливую при малых ().
А) Определите зависимость плотности газа в цилиндре от координаты .
Б) Найдите смещение тележки относительно начального положения.
Ответ. 3a. . 3b. .
Если верные ответы не были получены только вследствие вычислительных ошибок (в том числе если участник не смог проинтегрировать выражение для нахождения центра масс), при этом с физической точки зрения всё сделано совершенно правильно, то решения такого рода дают 3 балла за первый пункт и 4 балла за второй.
Указывается, что распределение температуры по координате линейное.
Предлагается применить уравнение состояния для расчёта плотности по известной зависимости температуры от координаты.
Показывается, тем или иным образом, что зависимость плотности от координаты линейная.
Делается утверждение о том, что центр масс системы должен находиться в покое.
Получено уравнение, связывающее координату центра масс газа в баллоне и координату тележки.
Указывается, что для определения центра масс газа в баллоне необходимо вычислить интеграл (как в решении) или аналогичную сумму.