Установление равновесия
( баллов) Бычков А.И.
В теплоизолированном цилиндре, расположенном горизонтально, лёгкий, хорошо проводящий тепло поршень делит объём на две равные части, каждая объёмом . В обеих частях находится один и тот же одноатомный идеальный газ при начальном давлении и температурах и (см. рисунок). Теплоёмкостью поршня можно пренебречь.
Мощность теплообмена между частями цилиндра пропорциональна разности температур: , где – коэффициент теплопередачи, – температура в левой части, – в правой. В процессе установления равновесия поршень медленно перемещается без трения о стенки цилиндра.
а) ( балла) Найдите конечную температуру, содержимого цилиндра.
б) ( балла) Найдите время, в течение которого разность температур между частями цилиндра уменьшается в раз по сравнению с начальной разностью температур .
в) ( балла) Найдите зависимость объёма левой части цилиндра от времени .
Решение.
а) Запишем уравнения состояния для начального момента времени:
Отсюда получаем, что . Пусть в некоторый момент времени температура в левой части цилиндра равна , а в правой - . Согласно первому началу термодинамики
где и - температуры в левой и правой частях цилиндра в момент времени соответственно. В конце процесса теплообмена температуры в левой и правой частях уравняются. Тогда . Откуда получаем ответ на пункт а):
б) По условию задачи тепло передаётся медленно, значит, давления на поршень с двух сторон практически равны, то есть в любой момент времени . Перепишем уравнение (1), воспользовавшись уравнением состояния:
То есть процесс теплопередачи происходит изобарически, и молярная теплоёмкость равна . Пусть за малое время температуры частей цилиндра изменились на величины и . Тогда
Введём обозначение . Вычтем из первого уравнения второе:
Решая это дифференциальное уравнение, получаем: , где
Значит, время, в течение которого разность температур между частями цилиндра уменьшается в раз по сравнению с начальной разностью температур , равно
в) Из уравнения и уравнения (1) следует:
Так как процесс изобарический, следовательно, . Откуда получаем окончательный ответ:
Записаны уравнения состояния для начального момента времени
Записано первое начало термодинамики для начального и промежуточного состояний.
Найдена конечная температура .
Установлено, что процесс изобарический.
Записаны уравнения , .
Найдено время, в течение которого разность температур между частями цилиндра уменьшается в раз по сравнению с начальной разностью температур : .
Получена зависимость температуры левого отсека от времени: , где .
Найдена зависимость объёма левой части цилиндра от времени : .