Нелинейная лента
На рисунке 1 изображена система, состоящая из двух пружин и упругой ленты.
Обе пружины с коэффициентом жёсткости подчиняются закону Гука. График зависимости силы упругости от удлинения ленты изображён на рисунке 2.
В недеформированном состоянии общая длина первой пружины и ленты равна длине второй пружины. К планке на правом конце системы прикладывают внешнюю силу так, чтобы планка постоянно оставалась параллельной стене.
-
Найдите удлинения пружин , и упругой ленты для двух значений внешней силы: и .
-
С какой максимальной внешней силой можно растягивать систему, если лента рвётся при удлинении ?
Пусть сила упругости ленты и первой пружины, а сила упругости второй пружины. Сила , с которой растягивают данную систему, уравновешивается данными силами и : . Закон Гука для пружин: и . Суммарное удлинение первой пружины и ленты равно удлинению второй пружины: . Из этих уравнений получим: , (1) или . (1')
При лента ведёт себя как пружина с коэффициентом жёсткости , который можно определить с помощью коэффициента наклона касательной к начальному участка графика. Следовательно, зависимость удлинения ленты от растягивающей её силы можно выразить как: . (2) Подставляя (2) в (1), получим , или . Тогда и . Для нахождения растяжений при построим зависимость (1′) (аналог нагрузочной прямой из электричества) на графике из условия.
Пересечение этих прямой и кривой позволяет найти силу упругости ленты и её удлинение . Следовательно, удлинение первой пружины и удлинение второй пружины . Угловой коэффициент прямой (1′) не зависит от прикладываемой силы. Проведём прямую с таким угловым коэффициентом через крайнюю точку графика (25 см; 14 Н) либо решим уравнение аналитически, подставив в соответствующие значения . Тогда максимальная сила: .
Верно записана связь внешней силы и сил упругости: .
Использован закон Гука для первой пружины .
Использован закон Гука для второй пружины .
Записана верная связь удлинений: .
Получена зависимость или .
Указано, что при малых растягивающих силах лента ведёт себя как пружина, подчиняющаяся закону Гука .
Метод нахождения коэффициента жесткости ленты при малых деформациях (касательная к начальному участку).
Найден коэффициент жёсткости ленты при малых деформациях: .
.
.
.
Использована идея построения зависимости на графике в случае большой растягивающей силы .
.
.
.
Предложен корректный способ нахождения , использующий точку .
Получен ответ .