Дальний удар
Во время очередной встречи инженеров Лобанов предложил:
-
А давайте сходим куда-нибудь вместе? Нельзя же все время сидеть в лаборатории.
-
Можно все время работать в лаборатории! - отвечал Гарин.
-
Например, на хоккей. Сегодня очень интересный матч.
-
Хорошо, давайте попробуем. После матча инженеры снова вернулись в лабораторию, но еще некоторое время обсуждали хоккей.
-
В мое время в эту игру играли мячом - начал обсуждение Гарин, - и мне кажется, что движение мяча по льду более сложное, чем у шайбы, и удар даже при скользящем ударе требует большего искусства.
-
Но шайба тоже может вращаться! - возразил Лобанов.
-
И это влияет на ее скольжение по льду. Вот давайте сравним… Для упрощения вместо шайбы рассмотрите тонкостенное цилиндрическое кольцо радиуса . Исследуйте движение этого кольца по горизонтальному льду. Кольцо стартует каждый раз с одной и той же скоростью движения центра масс, но с разными начальными угловыми скоростями вращения. Вам нужно исследовать влияние вращения на дальность скольжения. Пусть при старте без вращения тормозной путь кольца равен . Найдите тормозной путь кольца для трех ситуаций: , и . Используйте следующее предположения:
-
Кольцо не отрывается от льда, трение между кольцом и льдом является сухим трением (лед не плавится) и подчиняется закону Кулона-Амонтона.
-
Силы нормальной реакции льда равномерно распределены по площади опоры кольца и не зависят от движения кольца.
Ответ
Возможное решение:
Рассмотрим момент времени, в который центр кольца движется со скоростью , и при этом кольцо вращается вокруг центра с угловой скоростью . Выделим малый (с угловым размером ) элемент кольца, направление на который от центра кольца в этот момент времени составляет угол с . В системе координат, показанной на рисунке, скорость этого элемента относительно поверхности равна
Сила трения скольжения, действующая на этот участок, направлена против , а ее модуль пропорционален модулю силы нормальной реакции. С учетом заданных приближений (равномерности нагрузки и характера силы трения) ясно, что
где . Сразу обратим внимание, что из-за симметрии последнего интеграла при любом соотношении угловой скорости кольца и скорости центра масс. Значит, сила трения и при вращении кольца направлена против скорости центра масс, и центр масс движется по прямой, причем его скорость уменьшается. Для анализа вращения кольца необходимо вычислить момент сил трения относительно центра кольца:
Перейдем к исследованию заданных режимов.
(I) : в этом случае , и в интегралах можно ограничиться основным слагаемым. В выражении для силы , и вращение мало влияет на дальность скольжения. Момент в нулевом порядке равен нулю, а «низшее неисчезающее» слагаемое отвечает : . Как видно, угловая скорость вращения убывает медленнее, чем скорость центра: , а . Поправкой к величине тормозного пути можно пренебречь.
(II) : начальное значение , и
В этом случае и убывают «синхронно», поэтому вплоть до остановки кольца. Ускорение центра постоянно и равно . Следовательно, тормозной путь при той же начальной скорости увеличивается в раз: .
(III) : здесь , и теперь , а . Теперь скорость кольца убывает гораздо медленнее:
До нарушения условия кольцо проходит путь, примерно равный
а последующей добавкой можно пренебречь.
Ответы: при , при , при .