Дальний удар
Во время очередной встречи инженеров Лобанов предложил:
-
А давайте сходим куда-нибудь вместе? Нельзя же все время сидеть в лаборатории.
-
Можно все время работать в лаборатории! - отвечал Гарин.
-
Например, на хоккей. Сегодня очень интересный матч.
-
Хорошо, давайте попробуем. После матча инженеры снова вернулись в лабораторию, но еще некоторое время обсуждали хоккей.
-
В мое время в эту игру играли мячом - начал обсуждение Гарин, - и мне кажется, что движение мяча по льду более сложное, чем у шайбы, и удар даже при скользящем ударе требует большего искусства.
-
Но шайба тоже может вращаться! - возразил Лобанов.
-
И это влияет на ее скольжение по льду. Вот давайте сравним… Для упрощения вместо шайбы рассмотрите тонкостенное цилиндрическое кольцо радиуса . Исследуйте движение этого кольца по горизонтальному льду. Кольцо стартует каждый раз с одной и той же скоростью движения центра масс, но с разными начальными угловыми скоростями вращения. Вам нужно исследовать влияние вращения на дальность скольжения. Пусть при старте без вращения тормозной путь кольца равен . Найдите тормозной путь кольца для трех ситуаций: , и . Используйте следующее предположения:
-
Кольцо не отрывается от льда, трение между кольцом и льдом является сухим трением (лед не плавится) и подчиняется закону Кулона-Амонтона.
-
Силы нормальной реакции льда равномерно распределены по площади опоры кольца и не зависят от движения кольца.
Возможное решение:
Рассмотрим момент времени, в который центр кольца движется со скоростью , и при этом кольцо вращается вокруг центра с угловой скоростью . Выделим малый (с угловым размером ) элемент кольца, направление на который от центра кольца в этот момент времени составляет угол с . В системе координат, показанной на рисунке, скорость этого элемента относительно поверхности равна
Сила трения скольжения, действующая на этот участок, направлена против , а ее модуль пропорционален модулю силы нормальной реакции. С учетом заданных приближений (равномерности нагрузки и характера силы трения) ясно, что
где . Сразу обратим внимание, что из-за симметрии последнего интеграла при любом соотношении угловой скорости кольца и скорости центра масс. Значит, сила трения и при вращении кольца направлена против скорости центра масс, и центр масс движется по прямой, причем его скорость уменьшается. Для анализа вращения кольца необходимо вычислить момент сил трения относительно центра кольца:
Перейдем к исследованию заданных режимов.
(I) : в этом случае , и в интегралах можно ограничиться основным слагаемым. В выражении для силы , и вращение мало влияет на дальность скольжения. Момент в нулевом порядке равен нулю, а «низшее неисчезающее» слагаемое отвечает : . Как видно, угловая скорость вращения убывает медленнее, чем скорость центра: , а . Поправкой к величине тормозного пути можно пренебречь.
(II) : начальное значение , и
В этом случае и убывают «синхронно», поэтому вплоть до остановки кольца. Ускорение центра постоянно и равно . Следовательно, тормозной путь при той же начальной скорости увеличивается в раз: .
(III) : здесь , и теперь , а . Теперь скорость кольца убывает гораздо медленнее:
До нарушения условия кольцо проходит путь, примерно равный
а последующей добавкой можно пренебречь.
Ответы: при , при , при .
Определение скоростей элементов кольца относительно поверхности
Есть идея разбиения кольца на малые элементы для вычисления силы трения
Правильно определены обе компоненты скорости произвольного элемента кольца относительно поверхности
Построение модельных формул для силы трения и момента сил трения
Показано, что
Правильно построена модельная формула для
Правильно построена модельная формула для
Получение правильных ответов для тормозного пути в разных режимах
Для всех режимов правильно изучено поведение
Доказано, что
Доказано, что
Доказано, что