Отверстие в мыльной пленке

Возможное решение:

Каждый участок нити находится в равновесии под действием силы тяжести (направленной вниз), силы поверхностного натяжения (направлена перпендикулярно нити в каждой точке) и сил натяжения нити на концах этого участка (направлены по касательной к нити). Введем систему координат: ось направим горизонтально, ось - вертикально, а начало координат совместим с нижней точкой нити.

Для начала обратим внимание, что проекции силы поверхностного натяжения, действующей на бесконечно малый участок нити длиной , касательная к которому составляет угол с осью , равны (см. рисунок) и . Множитель «» появился из-за того, что наша пленка - двусторонняя. Значит, проекция силы поверхностного натяжения на некоторую выбранную ось пропорциональна проекции участка на ось, перпендикулярную выбранной. Если мы выделим теперь произвольный (не малый) участок нити (например, ), то, суммируя вклады его бесконечно малых участков,

Еще одно важное соотношение для любого отрезка нити можно получить из принципа Мопертюи (виртуальных перемещений). Так как отрезок находится в равновесии, то суммарная работа действующих на него сил на бесконечно малом «виртуальном» перемещении из этого положения равна нулю. Можно рассмотреть перемещение участка на расстояние «вдоль нити». Сила поверхностного натяжения на этом перемещении работы не совершает, а работу силы тяжести можно посчитать через изменение потенциальной энергии участка в поле тяжести (наше перемещение эквивалентно переносу «кусочка» веревки с массой от одного конца участка к другому). Таким образом:

Сила натяжения нити растет снизу вверх, причем ее изменение определяется только силами тяжести, а кривизна нити зависит и от сил поверхностного натяжения. Запишем условия равновесия для участка и учтем связь с силой тяжести и соотношение известных размеров (обозначения показаны на рисунке):

Здесь введены удобные безразмерные и . Формула для изменения силы натяжения в этих переменных дает . Теперь мы можем и выразить через :

Нам нужно еще одно независимое уравнение, и для его получения запишем для участка нити от произвольной точки «правой» половины (с координатами и ) до :

С другой стороны, для малого элемента нити на верхнем конце этого отрезка

Поэтому, используя предыдущее выражение, мы можем получить:

Интегрирование этого выражения выполняется легко и дает

Значит,

И это интегрирование не очень сложное, так что мы получаем уравнение, определяющее форму нити:

Подставив в него координаты точки , находим неизвестный параметр :

Итак, см, а уравнение нити

Ясно, что максимум этого выражения достигается в точке и равен . После подстановки получаем, что

Ответы: см, см.