Квантовая криптография

( баллов): Для передачи секретной информации руководству Вечности Эндрю Харлан использовал кодировку данных с помощью поляризационных состояний фотонов. Важной составляющей его установки было устройство, испускающее фотоны в заданном состоянии поляризации. Для его тестирования техник установил устройство так, что оно испускало фотоны в направлении оси , и поставил на оси пучка детектор, регистрирующий фотоны, поляризованные вдоль оси . Оказалось, что из серий по испущенных фотонов детектор в среднем регистрирует фотонов. Затем Харлан изменил настройку детектора так, что теперь он должен был регистрировать фотоны, поляризованные линейно вдоль биссектрисы между осями и . Теперь детектор в среднем «замечал» фотонов из . Наконец, детектор был перенастроен на регистрацию фотонов с правой круговой поляризацией. Предполагая, что устройство на самом деле всегда испускает фотоны в одном и том же состоянии поляризации, предскажите, какое количество фотонов из серии в фотонов в среднем будет регистрировать детектор.

Указание: Перед решением задачи прочитайте справочный текст, посвященный методу комплексных амплитуд и поляризациям фотонов.

В классической волновой теории света для описания электромагнитной волны мы должны указать ее частоту (длину волны ) и направление ее распространения (например, направив по нему вектор с единичной длиной). Эту информацию можно объединить в одном объекте, если ввести волновой вектор (где - скорость света). Но при каждом значении у такой волны возможны две независимых поляризации. Они соответствуют двум возможным взаимно перпендикулярным направлениям, в которых происходят колебания вектора напряженности электрического поля в волне (они всегда происходят в плоскости, перпендикулярной ). Например, если направлен вдоль оси , то две возможных поляризации соответствуют колебаниям вдоль осей и , которые можно задавать единичными векторами и . Для примера на рисунке показано положение векторов , и в волне, поляризованной вдоль оси .

Конечно, у волны могут быть и другие состояния поляризации, но их можно получить при помощи наложения (суперпозиции) базисных состояний. Отметим, что при составлении суперпозиции мы можем строить не только другие линейные поляризации (для них вектор в волне направлен вдоль оси, отличающейся от и , а проекции на базисные оси имеют разные значения, но колеблются синфазно). Путем суперпозиции можно получить также круговые или эллиптические поляризации, при которых проекции вектора на базисные оси совершают колебания со сдвигом по фазе относительно друг друга. Для описания таких колебаний можно использовать метод комплексных амплитуд.

Комплексные числа записываются в виде , в котором специальное число называют «мнимой единицей», а и - два вещественных числа, называемых вещественной и мнимой частью комплексного числа: , . Использование комплексных чисел позволяет расширить описание решений алгебраических уравнений (например, ясно, что с их помощью можно записывать корни квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Комплексные числа можно перемножать и делить друг на друга, получая снова комплексные числа. Эти операции определяются следующими формулами:

Вообще, с комплексными числами можно проводить любые алгебраические операции. Можно определить на множестве комплексных чисел многие известные Вам функции. Например, для экспоненты справедлива формула Эйлера:

Комплексное число называют сопряженным к числу . Вещественная неотрицательная величина

называется модулем комплексного числа. Если определить фазу комплексного числа с помощью формул

то можно ввести запись комплексного числа, представленного в экспоненциальной форме:

Теперь мы видим, что в комплексной форме записи можно объединить информацию об амплитуде и фазе колебания. Таким образом, произвольную поляризацию волны можно описывать вектором

в записи которого и - это комплексные числа. Модуль каждого из этих чисел описывает величину вклада базисной поляризации, а фаза комплексного числа задает начальную фазу колебаний с этой поляризацией. Для физики существенна разность фаз двух складываемых колебаний, поэтому начальную фазу колебаний по оси можно выбрать произвольно - например, равной . Тогда произвольное состояние поляризации волны описывается вектором

Например, состояние

называют состоянием с правой круговой поляризацией. В этом состоянии вклады базисных поляризаций одинаковы по амплитуде, и сдвинуты по фазе на . В классической волне с такой связью базисных поляризаций конец вектора при взгляде «навстречу» волновому вектору при распространении волны описывает окружность, вращаясь подобно «правому» винту.

Согласно квантовой теории света, его можно рассматривать как совокупность дискретных «порций» энергии электромагнитного поля - фотонов. При этом для описания состояния отдельного фотона тоже можно использовать волновой вектор, который определяет импульс и энергию фотона (здесь - постоянная Планка). Кроме того, у отдельного фотона тоже есть два независимых состояния поляризации, и для фотона с волновым вектором это могут быть состояния с поляризацией по и . Кроме того, фотон может находится в поляризационном состоянии, являющимся квантовой суперпозицией этих состояний. Договоримся описывать состояние фотона в такой суперпозиции вектором

Отличие квантовой суперпозиции от классической состоит в том, что волны, отвечающие распространению отдельных фотонов, являются волнами вероятности. Поэтому и предсказания результатов измерений в квантовой теории носят вероятностный характер. Если фотон находится в поляризационном состоянии

то вероятность при измерении обнаружить его в состоянии

равна квадрату модуля скалярного произведения соответствующих векторов, причем для комплексных векторов определение скалярного произведения содержит комплексное сопряжение: с учетом перпендикулярности и

Например, легко убедиться, что для состояния измерение поляризации фотона должно с вероятностью обнаруживать поляризацию вдоль оси , и с вероятностью - поляризацию вдоль оси . Как видно, для любого состояния должно выполняться требование нормировки .