Стержневой удар

Решение.

Данная задача является задачей с «частично открытой» моделью, что традиционно для олимпиады «Покори Воробьевы горы!» по физике. При анализе удара мы должны понимать, что «малость» деформаций означает и малость времени соударений, что позволяет пренебрегать действием на тела в процессе удара всех «конечных» сил. Таким образом, нам нужно учитывать только «очень большие» силы (то есть те, которые стремятся к бесконечности в пределе нулевого времени соударения) — силы реакции.

Учитывая условия гладкости всех тел, приходим к выводу, что это силы нормальной реакции — между стержнями () и между ними и поверхностью ( и ). В рамках модели будем считать, что перед отрывом стержней от поверхности вертикальная составляющая точки касания стержня и поверхности должна остаться равной нулю. Конечные скорости центров масс стержней будем записывать в проекциях на горизонтальную ось и вертикальную , а положительным направлением вращения считать вращение против часовой стрелки.

Если — средние величины сил реакции за время удара , то скорость центра масс и угловая скорость вращения вертикального стержня после удара удовлетворяют соотношениям

Здесь — масса каждого стержня, момент инерции каждого стержня относительно горизонтальной оси вращения, проходящей через ЦМ,

а плечо силы реакции равно

Для горизонтального стержня

Как видно, условия связи для точек касания стержней с поверхностью

дают связь «очень больших» сил реакции:

Подсчет дает, что

С учетом этих условий связи мы можем выразить все конечные скорости и угловые скорости через :

Подставляя эти соотношения в закон сохранения энергии

находим, что

Таким образом, угловые скорости вращения стержней после удара

Как видно, оба стержня после удара вращаются против часовой стрелки ().

Ответ. оба стержня после удара вращаются против часовой стрелки, величины угловых скоростей и . Допускались вычисления с разумными округлениями в промежуточных результатах.

Примечание. Если ввести другие предположения об упругих свойствах тел, можно построить и другие модели удара, приводящие к другим связям между силами реакции. Жюри олимпиады при оценке альтернативных моделей будет исходить из оценки их корректности и «разумности» с точки зрения физики. В первую очередь могут считаться «разумными» модели, в которых явно указано, какие модельные предположения использованы, как они обоснованы в рамках условия задачи, и как они порождают соотношения между силами реакции. Модели, не удовлетворяющие этим требованиям, рассматриваются как «грубые», и максимальная оценка решения, построенного на основе таких моделей, не может превышать баллов (см. критерии).

Пример 1: Корректная модель, не согласующаяся с предложенным приближением. Введем предположение, противоположное заданному в условии. Пусть деформации поверхности очень малы, но намного больше, чем деформации стержней. Теперь стержни значительно «жестче» поверхности, и их соударение происходит намного быстрее. Таким образом, в ходе соударения стержней поверхность только начала деформироваться, и сила реакции осталась «конечной». Тогда при ударе стержней ее можно не учитывать, и в результате тройное соударение стержней и поверхности можно рассматривать как три последовательных парных: сначала, пренебрегая влиянием поверхности, мы рассматриваем удар стержней, а затем — соударение стержней с поверхностью. Первый удар описывается теми же соотношениями с :

И при этом . В этом случае ЗСЭ дает , и , а угловые скорости . При «вторых» ударах на стержни действуют силы и , направленные вертикально. Значит, и больше изменяться не будут. Изучим теперь второй удар вертикального стержня.

Для него изменения и удовлетворяют соотношениям

Закон сохранения энергии для этого удара

дает

Для второго удара горизонтального стержня:

Аналогично

дает

Как видно, изменились не только величины угловых скоростей, но и направление вращения горизонтального бруска после удара.

Ответы'. Вертикальный стержень после удара вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , горизонтальный — по часовой стрелке с угловой скоростью . При таком решении не засчитывается только пп. , а остальные пункты при правильном решении оцениваются полностью, так что за такое решение жюри выставляло балл.

Пример 2: «Грубая» модель. Будем считать, что перераспределения сил реакции в процессе удара не происходит, и точкой приложения равнодействующей сил нормальной реакции брусков в ходе удара является центр площади соприкосновения. В этом случае нам даже не нужно анализировать геометрию и динамику соударения — достаточно системы законов сохранения, в которой к законам сохранения импульса и энергии добавляется закон сохранения момента импульса:

Ясно, что расчет на базе законов сохранения был возможен и в примере , только там их нужно было бы записать последовательно для «первого» и «вторых» ударов. Полезно обратить внимание, что в таком решении влияние поверхности на ответ вообще исчезло, что явно указывает на некоторую «нефизичность» модели.

Ответы''. Вертикальный стержень после удара вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , горизонтальный — не вращается. Это решение, согласно критериям, при полностью правильном выполнении оценивалось в баллов.