Очень толстая линза

Возможное решение: Сразу отметим, что размеры источника крайне малы и их влиянием на ход лучей можно пренебрегать

и даже для «крайних» лучей влияние размеров источника на угол наклона луча к оси менее . Введем обозначения: пусть — угол наклона к оси системы луча от источника, падающего на сферическую поверхность в точке на расстоянии от оси. Угол отклонения преломленного луча от оси обозначим , а угол между осью системы и радиусом сферической поверхности, проведенным в точку , назовем . В качестве переменной, описывающей положение точки , будем использовать

Как видно, область изменения этой переменной

Закон преломления луча в точке дает связь углов и :

Искомое расстояние связано с углом :

Отметим, что отражение лучей от боковой цилиндрической поверхности коллиматора не изменяет модуля , и к тому же для получающихся углов здесь происходит полное внутреннее отражение, так что и на яркость лучей эти отражения не влияют. В дальнейшем мы не будем обращать на них внимания.

Так как ограничение на угол очень жесткое, то и углы должны быть крайне малы, и с высокой точностью можно считать, что

Однако аналитически выразить через и из полученных трансцендентных уравнений не получится. Поэтому тут возможны два пути.

I. Выразить из (4.1) и (4.2), пользуясь малостью . При этом сразу необходимо понять, что слагаемые порядка существенны в требуемом масштабе точности вычислений, и их необходимо сохранять (пренебрегать мы можем только слагаемыми порядка и меньше). В этом случае из (4.2) с учетом

находим:

Записав , и используя разложение для тангенса, находим, приравнивая слагаемые с одинаковой степенью:

Таким образом, с точностью до поправок порядка угол

Аналогично в (4.1) записываем , и снова используем разложения для синуса и косинуса:

Таким образом,

Мы обнаружили, что в порядке при (то есть для случая , когда источник располагается в фокусе сферической поверхности, рассчитанном в параксиальном приближении — например, по формуле оптической силы тонкой линзы) мы получаем, что все лучи в коллиматоре идут параллельно оси. Однако при учете поправок порядка для луча с максимальным отклонением () от оси

Это означает, что при таком положении источника пучок имеет слишком большую расходимость. Как видно, на самом деле лучше взять немного меньше , и в этом случае будет меньше. Например, можно выбрать его так, чтобы при угол отклонения обращался в ноль (это соответствует или ), и этот выбор отвечает , то есть пучок удовлетворяет введенным требованиям. Более подробное исследование показывает, что пучок удовлетворяет требованиям при

(то есть ), а наименьшая расходимость пучка достигается при ().

II. Можно догадаться, что наиболее критичная область — область углов, близких к максимальному отклонению (), и можно выбирать положение источника таким образом, чтобы при определенном значении , например — именно при . Такой подбор можно осуществить непосредственно на базе формул (3.1) и (3.2): положив в (3.1) , находим, что

Подставив это значение в (3.2), находим, что

Тогда для получается

Как видно, этот метод дает разумный результат и намного проще по расчетам, но он менее строг: отсутствие аналитической формулы для не позволяет провести анализ угла отклонения на максимум, и мы опираемся на «догадку» о том, что нужно минимизировать отклонение «крайних» преломленных лучей от оси.

III. Можно модифицировать «второй» метод, проведя численный анализ значений угла отклонения на максимум во всем возможном интервале точек падения (на основе формул (3.1) и (3.2) или в рамках корректного эквивалентного подхода). В этом случае — при четком объяснении процедуры и представлении результатов расчета для разных значений и разных точек падения — такой метод решения становится строгим, и он засчитывался наравне с «первым».

Ответ: .

Примечание: Как видно из приведенного решения, использование формулы тонкой линзы или «формулы шлифовальщика» при заданном требованию к коллинеарности (малой расходимости) пучка является слишком грубым, так как при их выводе в выражениях для синусов и тангенсов углов пренебрегают упомянутыми в условии кубическими поправками. Поэтому практически любое решение на основе этих формул оказывается по сути неверным. Кроме того, ясно, что в рамках параксиального приближения корректные вычисления обязательно должны привести нас к ответу . В ходе проверки жюри обнаружило много (более ) работ с решениями, приводящими к ответу (или аналогичному со «сдвигом» запятой). Жюри просит участников в дальнейшем быть более внимательными. Эти решения не только получены в рамках некорректного для данной задачи приближения с помощью вычислений, содержащих неточности, но и имеют физически бессмысленный ответ (из него, например, следует, что для лучи от удаленного () источника, находящегося на главной оптической оси линзы, после прохождении линзы идут практически параллельно этой оси, а это очевидно не так!). Поэтому такие решения считались полностью неправильными.