База Вечности
( баллов): Во время подготовки одного из вмешательств Вечным понадобилось создать скрытую базу на одной из экзопланет. Эта планета оказалась очень оригинальна - она большей частью (кроме каменно-металлического ядра) состоит из воды. Собственное солнце очень слабо обогревает планету, но распад радиоактивных материалов в ядре поддерживает достаточно высокую температуру ее жидкой поверхности: . Радиус этой поверхности равен , а ускорение свободного падения вблизи поверхности океана . Отметим, что в глубинах океана из-за высокого давления вода становится твердой, и как раз внутри слоя льда, вблизи его поверхности, и была оборудована база. Определите радиус и температуру внешней поверхности ледяного слоя на этой планете. При решении Вы можете использовать следующие данные и приближения:
- Плотность жидкой воды в океане изменяется, но в расчетах считайте, что эта плотность постоянна и равна ;
- Плотность модификации льда, из которой состоит ледовый слой на этой планете, тоже можно считать примерно постоянной и равной ;
- Средняя плотность вещества ядра планеты равна ;
- Мощность тепла, выделяемого в ядре планеты, можно считать постоянной и равной .
- Согласно закону Фурье, количество теплоты, протекающее при теплообмене в единицу времени через единицу площади поверхности слоя вещества, пропорциональна разности температур по разные стороны от слоя и обратно пропорциональна толщине слоя:
Для воды в океане нашей планеты коэффициент теплопроводности можно считать равным ;
- Фазовая диаграмма воды представлена на рисунке ниже* (римскими цифрами обозначены различные модификации льда).
Можно ли по данным задачи определить радиус ядра планеты? Если да, то найдите его.
*изображение из открытых источников.
Возможное решение: Важно сразу обратить внимание, что в стационарном режиме с постоянной мощностью тепловыделения в ядре планеты количество теплоты, протекающее при теплообмене в единицу времени через поверхность любой сферы в толще океана постоянно. В соответствии с законом Фурье это означает, что для любого радиуса , отвечающего слою жидкой воды
С учетом условия получаем зависимость температуры от расстояния до центра планеты в жидкой воде:
Затем рассмотрим механическое равновесие слоя жидкой воды толщиной . Разность сил давления по разные стороны от этого слоя уравновешивает силу тяжести, то есть
Используя теорему Гаусса по аналогии с электростатикой, находим, что ускорение свободного падения на расстоянии от центра планеты определяется массой вещества, находящегося внутри поверхности этого радиуса:
Масса планеты находится из условия , а при погружении в океан уменьшается на массу слоя воды выше этого радиуса, так что в жидкой воде
Значит,
Таким образом, зависимость давления воды от радиуса определяется из уравнения
Давление на поверхности океана соответствует давлению насыщенного пара при температуре , и в результате
(в принципе можно пренебречь - это не скажется на результате). Зависимости и определяют связь температуры и давления при каждом значении , и по фазовой диаграмме мы можем найти точку пересечения кривой с кривой фазового равновесия «вода-ледVII». В логарифмическом масштабе в нужном диапазоне кривая фазового равновесия выглядит почти как прямая, и ее можно, например, аппроксимировать выражением
Вычисления (с большим «запасом» по количеству значащих цифр) вблизи точки пересечения дают:
Конечно, реальная точность снятия данных с приведенной диаграммы намного ниже, так что разумными ответами на поставленные вопросы можно считать следующие: радиус внешней поверхности ледяного слоя , ее температура .
Для определения радиуса ядра планеты можно воспользоваться значением массы планеты и известными значениями плотностей веществ:
где . Следовательно,
Вычисления приводят к результату , то есть .
Ответы: , , .
Используется правильное уравнение постоянства потока тепла
Получена правильная зависимость
Используется правильное выражение для массы планеты через данные задачи
Записана правильная зависимость
Записано правильное уравнение, эквивалентное
Выполнено интегрирование и получена правильная зависимость давления от радиуса, эквивалентная
Предложена корректная процедура (аналитическая или графическая) сравнения значений давления и температуры с равновесными на границе раздела «вода-ледVII»
Ответ для радиуса поверхности льда *
Ответ для температуры поверхности льда *
Записано правильное уравнение для нахождения радиуса ядра
Ответ для радиуса ядра планеты *
Есть оценка точности большей части результатов (наличие)
*Ответы засчитываются, только если они получены корректным образом. При попадании ответа не в заданный, а только в «удвоенный по ширине» интервал, за него выставляется балл.