Ультракороткий импульс
( баллов): Для изучения динамики электронных состояний в сложных молекулах «биомаркеров» Уоллесу нужно было фиксировать длительность процессов в диапазоне сотен аттосекунд. «Для этого необходимо научиться генерировать электромагнитные импульсы еще меньшей длительности», - рассуждал он в присутствии Громита. Подумав, он продолжил: «Любой импульс, в котором зависимость изменяющейся величины от времени описывается функцией , можно представить как сумму гармонических колебаний с разными частотами (гармоник). Но в этой сумме нужно учитывать не только амплитуды гармоник, а еще и их фазовые сдвиги, и это удобнее делать с помощью метода комплексных амплитуд, в рамках которого разложение сигнала на гармоники записывается в виде интеграла
где интегрирование проводится по всем значениям частот в спектре сигнала». «Получается, что для создания коротких импульсов нужен набор гармоник со спектром в виде широкой почти равномерной гребенки», - подсказал Громит. Отметим, что из-за строения голосовых связок Громит не мог говорить по-человечески, но он в совершенстве владел телепатией.
- Проверьте правильность подсказки Громита. Для этого изучите сигнал с таким «гребенчатым» спектром, состоящим из одинаковых «зубцов». В первом «зубце» амплитуда гармоник в интервале частот от до , во втором - от до и так далее (см. рисунок). Оцените длительность импульсов в этом сигнале, если время с, а .
Но как создать такой спектр? При таких масштабах времен излучение будет обладать квантовыми свойствами. Получается, нужно много фотонов с разными энергиями, и при этом они должны быть тщательно синхронизированы друг с другом по фазе своих волн вероятности. «Но фотону не обязательно находиться в состоянии с одной определенной энергией», - вновь вступил в «разговор» Громит. «Он может находиться в состоянии квантовой суперпозиции, при которой фотон одновременно находится в состояниях с разными энергиями (а, значит, и с разными частотами), которые «автоматически» синхронизированы друг с другом. Для такого состояния измерение энергии фотона выдавало бы разные значения с разными вероятностями. А частотный спектр такого фотона в точности соответствовал бы нужной нам гребенке», - подытожил он. Уоллес был очень взволнован: «Как можно такое сделать?» Громит задумался: «Очень тяжело, но можно попробовать. Согласно квантовой теории, фотоны рождаются при переходе атомных электронов из возбужденного состояния (с избыточной энергией) в основное (с минимальной энергией), и при этом получается фотон с почти точно определенной энергией. Сами электроны связаны в атоме и для их отрыва от атома нужна довольно большая энергия. К счастью для нас, электроны - тоже квантовые частицы, и они могут совершать туннельные переходы, то есть преодолевать «слишком высокие» энергетические барьеры. Получается так: если поместить атом в поле волны мощного инфракрасного мазера, то длина волны излучения будет намного больше размеров атома, и можно считать, что атомный электрон, попавший в возбужденное состояние, будет находиться в гармоническом электрическом поле . С точки зрения электрона это поле изменяется очень медленно, и в некоторой части периода оно «вытаскивает» электрон из атома и может заставить его тунеллировать наружу - так, что он окажется «снаружи» атома. Сначала поле будет разгонять электрон, заставляя его удаляться от атома, но затем оно поменяет знак, остановит электрон и направит его обратно к атому. При удачном стечении обстоятельств (а атомов в волну попадает много, и для некоторых из них обстоятельства могут сложиться «удачно») он наберет энергию, «ударит» по атому, снова попадет в него, и после этого совершит переход в основное состояние. Теперь он должен истратить набранную за время пребывания за пределами атома энергию на излучение фотонов. И тут возникает вероятность, что «высветится» он не многими фотонами, а одним фотоном в нужном нам состоянии квантовой суперпозиции. И это может происходить на каждом периоде инфракрасного излучения, так что мы получим последовательность ультракоротких импульсов излучения!».
- Проверьте одно из утверждений Громита. Для этого изучите движение электрона с зарядом и массой в электрическом поле волны. Считайте, что после тунеллирования он оказался с почти нулевой скоростью в некоторой точке за пределами атома, где на него действует только поле волны. Пользуясь законами ньютоновской механики, оцените, с какой максимальной энергией электрон может вернуться в эту точку, двигаясь к атому (движение считайте одномерным).
Указание: Перед решением задачи разберите (или вспомните), как работает метод комплексных амплитуд и что такое «квантовые свойства» фотонов.
Вы можете использовать материалы открытого курса физического факультета МГУ:
https://teach-in.ru/lecture/2023-06-16--Parfenov-1
https://teach-in.ru/lecture/2023-06-30--Parfenov-1
(и другие лекции этого курса), а также справочные материалы к задаче отборочного этапа олимпиады школьников «ПВГ!» 2022/23 года «Квантовая криптография»:
https://pvg.mk.ru/media/stage1/keys/phys11stage1keys.pdf
Возможное решение: Вопрос : в соответствии с информацией из условия, для анализа временной зависимости сигнала, спектр которого соответствует равномерной гребенке, нужно вычислить интеграл Фурье
Здесь мы воспользовались формулой частичной суммы геометрической прогрессии и вычислили интеграл от экспоненты. Далее, воспользовавшись формулой Эйлера, находим:
В этом выражении использована функция
Как видно, сигнал состоит из серии импульсов («выбросов») с плавно убывающей амплитудой. Центры импульсов определяются обращением в ноль знаменателя:
где - целое число. Значит, импульсы следуют с интервалом . Длительность импульса определяется интервалом времени между обращениями в ноль числителя при ненулевом знаменателе, и поэтому
то есть около аттосекунд!
Вопрос : Пусть - циклическая частота возбуждающей волны, а - амплитуда колебаний напряженности электрического поля в этой волне. Будем считать, что после тунеллирования за пределы атома электрон оказался в точке с координатой . Уравнение одномерного движения электрона в электрическом поле волны
Величина определяет состояние поля волны в момент тунеллирования. Тогда скорость электрона к моменту времени
Будем считать, в соответствии с условием, что «прогулка» электрона за пределами атома завершится в момент возвращения в исходную точку, то есть что определяется из уравнения
или, при переходе к переменной :
Обозначим первый положительный корень этого уравнения (для тех значений параметра , для которых он существует) . Отметим для себя, что логично выбрать так, чтобы при поле было направлено так, чтобы «уводить» электрон от атома и было близко к максимуму. Тогда , и поэтому параметр может иметь практически любое значение (в том числе и отрицательные значения). Итак, время «прогулки» , а конечная скорость электрона
Конечно, безразмерный коэффициент в этой формуле может варьироваться в достаточно широких пределах. Но в целом для многих возможных значений он имеет величину, близкую по порядку к . К аналогичному выводу приводит и численный анализ (на рисунке показан график изменения модуля коэффициента в диапазоне значений от до ). 
В рамках оценки по порядку величины можно заключить, что
Поэтому ясно, что энергия электронов к моменту окончания «прогулки» может достигать значений порядка
то есть растет пропорционально квадрату амплитуды поля в волне и действительно для интенсивных волн может оказаться существенно больше энергии возбуждения электрона в начальном состоянии!
Ответы: длительность импульсов в таком сигнале
максимальная энергия электрона к моменту возвращения к атому определяется амплитудой изменения напряженности электрического поля волны:
Правильный анализ временной зависимости сигнала с частотным спектром в виде «гребенки»
Получено любое правильное выражение для
Правильно описан вид сигнала как последовательности коротких импульсов с плавно изменяющейся амплитудой
Правильно оценена длительность импульса
Получена правильная оценка максимальной энергии электрона после возвращения к атому
Получен закон изменения с учетом поля волны
Получено уравнение, позволяющее оценить время «прогулки» электрона
Оценена максимальная энергия электрона к моменту возвращения к атому