Импульсное ускорение
Частица двигалась в плоскости в положительном направлении оси с постоянной скоростью, параллельной оси . В момент времени на неё начала действовать переменная сила, которая лежит в плоскости . Действие этой силы привело к возникновению ускорения, которое периодически изменяло своё направление. Модуль ускорения при был равен и через каждый промежуток времени уменьшался в раза. На рисунке представлены графики зависимости проекций ускорения частицы от времени за некоторый начальный интервал времени.
Считая известными и , определите максимальную и минимальную (по модулю) скорости частицы, которая двигалась под действием этой силы в течение долгого времени. При этом скорость частицы отклонялась от первоначального направления движения на максимальный угол .
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
где — первый член прогрессии, а — знаменатель прогрессии.
Решение.
Изобразим с помощью векторной диаграммы, как изменялась скорость частицы.
Можно заметить, что скорость частицы монотонно возрастала со временем, значит минимальная по модулю скорость была в начале, а максимальная — в конце движения (при очень большом времени).
Перегруппируем векторы приращения скоростей.
Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии, получим, что изменение проекции скорости на ось за длительное время (бесконечное количество циклов) будет . Аналогично изменится и -компонента скорости.
Значит, максимальная скорость в процессе движения:
Выразим начальную скорость через . Угол отклонения вектора скорости через время после начала движения:
Через большое время после начала движения:
Тогда возможны два варианта.
1. Если начальная скорость мала, тогда максимальное отклонение вектора скорости будет через после начала движения:
Рассматриваемый случай реализуется при . Тогда:
2. Если , то максимальное отклонение вектора скорости будет в предельной ситуации ():
Использована связь изменения скорости и ускорения .
В решении указано, что минимальная скорость в процессе движения — это начальная скорость .
В решении указано, что максимальная скорость в процессе движения — это .
С помощью формулы для суммы геометрической прогрессии получены или используются выражения и .
Получена правильная формула для предельной скорости через , и : .
Указан момент максимального отклонения скорости для малой () начальной скорости: .
Верно найдена минимальная скорость в случае малой () начальной скорости: .
Верно найдена максимальная скорость в случае малой () начальной скорости: .
Указан момент максимального отклонения скорости для большой () начальной скорости: .
Верно найдена минимальная скорость в случае большой () начальной скорости: .
Верно найдена максимальная скорость в случае большой () начальной скорости: .