Гантель в магнитном поле
В аксиально-симметричном магнитном поле находится гантель — лёгкий непроводящий стержень с заряженными шариками на концах. Массы и заряды шариков одинаковы и равны и . Гантель перпендикулярна оси симметрии (оси ), а её центр находится на этой оси (см. рис.). Проекция магнитного поля на радиальное (перпендикулярное оси) направление на расстоянии, равном радиусу гантели, везде одинакова и равна . Осевая компонента поля изменяется вдоль оси. В момент времени гантели сообщают скорость вдоль оси . Силу тяжести не учитывайте.
- На какое наибольшее расстояние от начального положения удаляется центр гантели?
- Чему равна максимальная окружная (перпендикулярная оси симметрии) скорость вращения шариков гантели в процессе движения?
- Через какое время после угловая скорость вращения гантели окажется наибольшей?
Возможное решение.
Вызываемые осевой проекцией магнитного поля силы направлены вдоль стержня, равны по величине и противоположно направлены и не сказываются на движении гантели.
В начальный момент силы, связанные с радиальной проекцией магнитного поля, оказываются тангенциальными, то есть перпендикулярными оси и радиальному направлению. Это приводит к росту угловой скорости вращения вокруг оси симметрии, но при этом нет сил, смещающих центр гантели поперёк оси или вызывающих поворот плоскости вращения.
При скорости шариков вдоль оси и окружной скорости возникающие из-за радиальной проекции магнитного поля силы перпендикулярны скорости шариков и имеют осевую составляющую
и тангенциальную (окружную) составляющую
Соответственно,
Пока не уменьшится до нуля, окружная и угловая скорости растут. Поскольку работа магнитной силы равна нулю, кинетическая энергия остаётся неизменной:
Следовательно, максимальная окружная скорость равна
При смещении центра гантели на от начальной точки
откуда
Для максимального смещения имеем:
После подстановки в выражение получим уравнение гармонических колебаний:
Круговая частота колебаний
а период
Первый раз от момента начала движения максимальная скорость вращения будет достигнута через четверть периода:
Затем максимальное значение скорости вращения будет достигаться через каждые полпериода. Таким образом, для моментов времени, в которые достигается максимальная скорость вращения, справедлива формула
Ответ: , , , где — натуральное число.
Указано, что от осевой компоненты магнитного поля движение не зависит.
Записаны выражения для осевой и тангенциальной компонент магнитной силы.
Верно записан второй закон Ньютона для этих компонент.
Указано, что кинетическая энергия и модуль полной скорости при движении в магнитном поле не меняются; определена максимальная окружная скорость.
Установлена связь окружной скорости со смещением вдоль оси симметрии.
Найдено максимальное смещение от начальной точки.
Получено уравнение гармонических колебаний.
Получено выражение для периода или частоты колебаний.
Определены моменты времени достижения максимума угловой скорости.