Не падать
Один конец невесомого жёсткого стержня длиной с закреплённым на конце маленьким шариком массой касается массивного клина с углом при основании (см. рисунок). Другой конец стержня шарнирно закреплён в точке . Систему удерживают в некотором положении, а затем отпускают. В момент, когда стержень горизонтален, шарик отрывается от клина. Определите скорость клина в этот момент. Ускорение свободного падения считайте известным. Трения в системе нет.
Ответ
Решение.
Чтобы шарик скользил по наклонной поверхности без отрыва, необходимо, чтобы проекции скорости клина и скорости шарика на ось, нормальную к поверхности, были равны. Запишем кинематическую связь для момента, когда стержень горизонтален:
Поскольку ось, перпендикулярная наклонной поверхности клина, постоянна по направлению, а проекции скоростей клина и шарика на эту ось одинаковы, то и проекции ускорений клина и шарика на данную ось также равны. После отрыва шарика от клина все действующие на клин силы вертикальны. В результате этого клин начинает двигаться равномерно. Следовательно, в момент отрыва проекция ускорения шарика на нормаль к поверхности клина равна нулю.
Равенство нулю проекции ускорения шарика в момент отрыва можно доказать другим способом: перейдём в поступательно движущуюся систему отсчёта, связанную с клином. В этой системе отсчёта относительное ускорение шарика будет направлено вдоль наклонной поверхности клина. Поскольку в момент отрыва шарика от клина все действующие на клин силы вертикальны, его ускорение равно нулю. Это означает, что в лабораторной системе отсчёта ускорение шарика тоже будет направлено вдоль поверхности клина.
Так как стержень нерастяжимый, движение шарика представляет собой движение по окружности радиусом . Найдём тангенциальную и нормальную компоненты ускорения шарика. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось. Так как по условию в рассматриваемый момент шарик отрывается от поверхности клина, на него действует единственная вертикальная сила — сила тяжести. Исходя из этого, получаем:
Для нахождения нормальной компоненты ускорения воспользуемся формулой центростремительного ускорения:
Далее рассмотрим три возможных способа определения скорости шарика в момент отрыва.
Первый способ.
Запишем уравнение кинематической связи для проекций ускорений на нормаль к наклонной поверхности клина:
Второй способ.
Второй закон Ньютона для шарика в момент отрыва:
Как было доказано ранее, в момент отрыва ускорение шарика в лабораторной системе отсчёта направлено вдоль поверхности клина. Спроецируем второй закон Ньютона на ось, перпендикулярную наклонной поверхности клина, и получим:
В этот момент шарик движется по окружности с центром в точке и радиусом , значит . Следовательно:
Третий способ.
Запишем уравнение кинематической связи для скоростей шарика и клина при скольжении без отрыва в произвольный момент времени:
где — угол между стержнем и наклонной плоскостью клина. Возьмём производную по времени от кинематической связи:
В рассматриваемый момент , так как все силы, действующие на клин, вертикальны, и . Тогда:
С учётом того, что , окончательно получим: