Раскрутка трением
Два одинаковых диска с радиусами насажены на параллельные вертикальные оси, на которых они могут вращаться без трения.
Расстояние между осями чуть больше , так что между боковыми поверхностями дисков остаётся небольшой зазор. Верхние основания дисков лежат в одной горизонтальной плоскости. Цилиндрический валик радиуса , длины может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, плоскость которой лежит в одной плоскости с осями дисков. Сам валик располагается между осями дисков и прижимается к верхним основаниям дисков с одинаковыми силами. Линия касания валика и дисков совпадает с радиусами дисков. Один из дисков вращается с помощью электродвигателя с постоянной угловой скоростью и приводит во вращение из-за трения между соприкасающимися поверхностями валик, который в свою очередь раскручивает второй диск.
- Определите установившуюся скорость вращения второго диска. Примечание. При вращении твёрдого тела с постоянной угловой скоростью сумма моментов внешних сил относительно оси вращения равна нулю.
Рассмотрим момент времени, когда валик и правый диск вращаются с постоянными угловыми скоростями и соответственно. Введём ось , направленную вдоль оси симметрии валика влево, с началом в центре его правого основания. Сила трения, действующая на правый диск, меняет своё направление в некоторой точке с координатой . На участке с координатой от до скорость точек валика больше, чем скорость точек диска , значит сила трения на этом участке направлена по скорости точек валика («от нас»). Аналогично можно показать, что на участке с координатой от до сила трения направлена против скорости точек валика («на нас»).
Сила трения, действующая на участке длиной , равна , где — сила трения, приходящаяся на единицу длины. Равнодействующая такой равномерно распределённой силы приложена к середине указанного отрезка. С учётом того, что суммарный момент внешней силы трения, действующей на правый диск, равен нулю, получаем:
.
Откуда .
Сила трения, действующая на валик со стороны левого диска, меняет своё направление в некоторой точке с координатой . Плечо этой силы равно , а так как валик равномерно вращается, то суммарный момент силы трения, действующей на валик относительно оси вращения, также равен нулю, а значит:
.
Откуда .
В точках с координатами и , где сила трения меняет направление, скорости точек дисков равны скорости точек валика . Скорость точки правого диска с координатой равна . Скорость точки левого диска с координатой равна . С учётом этого
,
или .
В решении указано, что сила трения, действующая на правый диск, меняет своё направление в некоторой точке, где скорости точек валика и правого диска равны.
Указано, что равнодействующая силы трения , действующей на участок длиной правого диска, приложена к его середине, или представлен любой другой способ, позволяющий рассчитать суммарный момент силы трения, действующей на правый диск на участке.
Записано выражение для модуля момента силы трения, действующей на правый диск на участке с координатами от до : или иное эквивалентное соотношение.
Записано выражение для модуля момента силы трения, действующей на правый диск на участке с координатами от до : или иное эквивалентное соотношение.
Правильно записано уравнение моментов для правого диска.
Получено соотношение или иное эквивалентное соотношение.
Указано, что сила трения, действующая на валик со стороны левого диска, меняет своё направление в некоторой точке, где скорости точек валика и левого диска равны.
Записано выражение для модуля момента силы трения, действующей на валик на участке с координатами от до : или иное эквивалентное соотношение.
Записано выражение для модуля момента силы трения, действующей на валик на участке с координатами от до : или иное эквивалентное соотношение.
Правильно записано уравнение моментов для валика.
Получено соотношение или иное эквивалентное.
В решении показано, что скорости точек правого и левого диска с координатами и соответственно равны. То есть записано соотношение или иное эквивалентное.
Получен ответ .