Волчок
Полусфера радиуса стоит на горизонтальной шероховатой поверхности и заполнена водой так, что объём воды внутри волчка равен половине объёма полусферы. Тонкий невесомый жёсткий стержень длиной соединён с центром полусферы и точечным телом массой . Волчок отклоняют от положения равновесия и отпускают. Масса полусферы равна , трением воды о полусферу пренебречь.
- Найдите положение центра масс полусферы относительно её центра.
- Определите, при каких значениях равновесие волчка будет устойчивым.
- Пусть . Определите, влияет ли налитая вода на устойчивость равновесия волчка.
Решение.
Определим координату центра масс полусферы. Мысленно «разрежем» полусферу плоскостями, параллельными основанию, на тонкие кольца толщиной каждое. Масса такого кольца пропорциональна площади его поверхности. Пусть кольцо видно из центра полусферы под углом к её основанию. Тогда радиус кольца равен . Заметим, что поверхность кольца образует с основанием полусферы угол . Площадь поверхности кольца равна произведению его длины на ширину . Как видно из формулы, площадь кольца не зависит от угла, под которым оно видно из центра, а это означает, что масса полусферы равномерно распределена вдоль радиуса, перпендикулярного её основанию, значит центр масс находится на расстоянии от центра.
Решения, полученные интегрированием или другим способом, также засчитываются, если исходят из верных начальных утверждений и корректно реализованы.
Рассмотрим силы, действующие на волчок, после того, как его отклонили и отпустили. На волчок будут действовать две силы тяжести и , сила реакции опоры со стороны стола . Направления этих сил вертикальны. Направления ещё двух сил зависят от направления движения волчка. Рассмотрим случай, когда волчок возвращается в исходное состояние. В таком случае на него будет действовать сила трения, направленная влево, и сила давления со стороны воды, направленная вниз и вправо.
Горизонтальная составляющая силы давления со стороны воды возникает из-за наличия трения между волчком и столом, следствием которого является движение центра масс воды влево. Это движение может быть обеспечено только за счёт взаимодействия со стенками. Также стоит отметить тот факт, что мы изобразили результирующую силу давления воды, которая на самом деле распределена по поверхности контакта с полусферой и в каждой точке направлена перпендикулярно поверхности, то есть от центра полусферы. Это означает, что суммарный момент этой силы относительно центра полусферы равен нулю.
Для устойчивости равновесия необходимо, чтобы после отклонения на малый угол волчок стремился вернуться обратно. Рассмотрим ось вращения, проходящую через центр полусферы. Моменты сил давления воды и реакции опоры относительно этой оси равны нулю. Сила трения нас не интересует, так как её направление будет определяться суммарным моментом двух сил тяжести.
Если суммарный момент двух сил тяжести направлен против часовой стрелки (стремится вернуть волчок в положение равновесия), то сила трения будет направлена влево и будет лишь замедлять скорость поворота волчка, но не может изменить направление его вращения. Из вышеизложенного становится понятно, что устойчивость равновесия волчка никак не зависит от количества налитой воды.
Найдём положение центра масс волчка для случая . Выберем ось , проходящую через центр полусферы и направленную перпендикулярно её основанию:
значит центр масс волчка расположен ниже его центра, а именно к нему приложена результирующая двух сил тяжести. Получаем, что в первом случае вне зависимости от объёма налитой воды волчок будет находиться в состоянии устойчивого равновесия.
Налитая вода на равновесие не влияет. Для устойчивости равновесия необходимо, чтобы центр масс волчка оказался ниже центра полусферы. Рассмотрим ту же ось , что и в первом случае:
откуда
Предложен реализуемый метод определения центра масс полусферы.
Доказано, что центр масс полусферы находится на расстоянии .
На рисунке присутствуют две силы тяжести (полусфера и груз) или их результирующая, направленная(ые) вертикально вниз. Точки приложения сил верные.
На рисунке присутствует сила реакции опоры, направленная вертикально вверх. Точка приложения силы верная.
На рисунке присутствует сила трения, направленная по горизонтали в любую из сторон. Точка приложения силы верная.
На рисунке присутствует сила давления воды, направленная под углом к вертикали. Горизонтальная составляющая силы давления противоположна силе трения (балл ставится при наличии правильно изображенной силы трения). Сила давления направлена вертикально вниз — балла. Иные варианты — баллов.
Верно определена сумма моментов сил относительно выбранной участником оси.
Присутствует явное обоснование нулевого момента силы давления относительно центра сферы, либо он правильно вычислен относительно другой оси, либо указано, что при предельном случае сила давления воды вертикальна и точка ее приложения лежит над точкой контакта полусферы с плоскостью. Если при ответе на второй вопрос участник считает, что сила давления направлена вертикально и приравнивает ее момент нулю на этом основании, то за данный пункт ставится баллов.
Корректно учтен момент силы трения, либо выбрана ось, относительно которой он равен нулю, либо обосновано, почему его можно не учитывать.
Получен обоснованный ответ, что при любом объеме воды в первом случае волчок будет в устойчивом равновесии. Баллы за эти пункты ставятся даже при отсутствии обоснования о нулевом моменте силы трения, неправильном направлении силы давления.
Получен обоснованный ответ для второго случая . Баллы за эти пункты ставятся даже при отсутствии обоснования о нулевом моменте силы трения, неправильном направлении силы давления.