Наклонная плоскость
Точечное тело движется по гладкой наклонной плоскости, удерживаемое невесомым жёстким стержнем длиной , один конец которого закреплён в точке . В начальный момент телу сообщают скорость вдоль наклонной плоскости так, что оно начинает двигаться по окружности радиуса .
- Найдите скорость , которую надо сообщить телу, чтобы оно совершило полный оборот и оказалось в верхней точке траектории с нулевой скоростью.
- Найдите скорость , которую надо сообщить телу, чтобы его скорость в дальнейшем впервые достигла минимума.
Угол наклонной плоскости к горизонту равен , коэффициент трения скольжения тела о плоскость .
Решение.
Так как стержень жёсткий и изначальная скорость сообщена вдоль наклонной плоскости, то тело будет двигаться по окружности радиуса .
При движении на груз действуют четыре силы: потенциальная сила тяжести и непотенциальные силы трения и реакции опоры со стороны стержня и плоскости. Сила реакции со стороны стержня, как и сила реакции со стороны плоскости, в любой момент времени направлены перпендикулярно скорости, поэтому их работа равна нулю. Сила трения постоянна по модулю и в любой момент направлена против скорости, поэтому работа силы трения будет равна , где — длина пути, пройденного телом.
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную плоскости:
Так как тело скользит, на него действует сила трения скольжения, равная
Пусть скорость груза в верхней точке равна . Запишем связь между изменением механической энергии тела и работой силы трения:
Скорость будет равна
Рассмотрим в произвольный момент времени проекции сил, действующих на груз, на ось, сонаправленную скорости. Не нулевыми на эту ось будут только проекции силы тяжести и силы трения. Пока груз движется от нижней точки к самой верхней, обе проекции будут отрицательными, значит модуль скорости груза будет уменьшаться. В процессе дальнейшего движения проекция силы тяжести станет положительной и будет постепенно возрастать от нулевого значения, значит скорость тела первое время продолжит уменьшаться и достигнет минимума в точке, когда проекция силы тяжести скомпенсирует проекцию силы трения:
где — угол между стержнем и «вертикалью», то есть прямой, проходящей через верхнюю точку траектории груза и шарнир. Отсюда получим, что
Так как работа силы трения и изменение потенциальной энергии при перемещении в фиксированное положение не зависят от величины начальной скорости, то минимальному значению скорости на старте соответствует нулевое значение минимальной скорости в процессе дальнейшего движения. Запишем опять связь между изменением механической энергии тела и работой силы трения:
Тогда
откуда
Из второго закона Ньютона получено, что .
Верно определено изменение потенциальной энергии при перемещении из нижней точки в верхнюю: . Примечание: это выражение может быть сразу записано в ЗСЭ. Если оно записано правильно, то баллы ставятся.
Верно определена работа силы трения: . Примечание: баллы ставятся при правильном знаке и правильном перемещении точки приложения. Примечание 2: это выражение может быть сразу записано в ЗСЭ. Если оно записано правильно, то баллы ставятся.
Явно указано, что сила реакции со стороны стержня на груз не совершает работы (или сила со стороны шарнира на стержень, если ЗСЭ записан для системы из стержня и груза). Примечание: отсутствие данного слагаемого в ЗСЭ без каких-либо обоснований не считается явным указанием на нулевую работу, балл в этом случае не ставится.
Верно записан ЗСЭ (присутствуют все слагаемые и верные знаки).
Получено, что или .
Продемонстрировано понимание того, что после прохождения «верхней» точки тело будет еще какое-то время замедляться.
Верная идея определения точки, в которой скорость будет минимальна ( или аналогичная).
Верно определено положение точки, в которой скорость будет минимальна ().
Верно определена работа силы трения для второго вопроса. Примечание: это выражение может быть сразу записано в ЗСЭ. Если оно записано правильно, то баллы ставятся.
Верно определено изменение потенциальной энергии для второго вопроса. Примечание: это выражение может быть сразу записано в ЗСЭ. Если оно записано правильно, то баллы ставятся.
Верно записан ЗСЭ для второго вопроса (присутствуют все слагаемые и верные знаки).
Получено, что или .