Тянем-потянем
Гладкий тонкий стержень согнут под прямым углом и зафиксирован в горизонтальной плоскости.
По одной его стороне может перемещаться небольшая втулка массой , по другой лёгкое маленькое колечко. К вершине прямого угла прикреплён один конец невесомой нерастяжимой нити длиной . Нить продета через кольцо, и другой конец нити привязан к втулке. — это угол между направлением от кольца к вершине прямого угла и направлением от кольца к втулке (см. рисунок). Колечко перемещают из вершины прямого угла с постоянной скоростью . Трение отсутствует. В процессе всего движения нить натянута.
-
Определите скорость движения втулки в начальный момент времени, когда колечко движется вблизи вершины прямого угла.
-
Как зависит скорость движения втулки от угла ?
-
Чтобы колечко двигалось с постоянной скоростью , к нему прикладывают силу , направленную вдоль стержня. Как зависит сила от угла ?
За небольшое время колечко пройдет расстояние , оставив позади себя кусочек нити длиной .
Такой же по длине кусочек нити должен освободиться из-за приближения втулки к колечку. Значит, , и: . Ответ на второй вопрос можно получить разными способами.
Способ 1. Перейдем в систему отсчета, связанную с колечком. В этой СО колечко неподвижно, а у втулки появляется составляющая скорости, перпендикулярная стержню (см. рисунок). При этом относительно точки , выбранной вблизи колечка, втулка движется по окружности. Проекции скоростей втулки и точки на направление участка нити между втулкой и кольцом должны компенсировать друг друга так, чтобы длина этого участка оставалась постоянной. Точка движется со скоростью , поэтому: .
Способ 2. Пусть расстояния от вершины прямого угла до колечка и до втулки равны соответственно и . Тогда запишем полную длину нити следующим образом: . Возьмём производную по времени: . Отсюда , или . Так как и , получим: .
Способ 3. Рассмотрим маленький промежуток времени . Колечко прошло расстояние , а втулка . Проецируя эти перемещения на отрезок, соединяющий колечко с ниткой, получим маленькое изменение длины куска нити между ними: . Кусок нити между вершиной прямого угла и колечком увеличился на . Так как полная длина нити не меняется: . Откуда: . Ответ на третий вопрос можно получить разными способами.
Способ 1. Скорость втулки при её движении по окружности относительно точки равна . Нормальная компонента ускорения: , где — длина участка нити между втулкой и точкой . Полное ускорение втулки направлено вдоль стержня, а является его проекцией на нить. Поэтому .
Способ 2. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте связью и : . Возьмём производную по времени от этого выражения: . Так как нить нерастяжима: , откуда . Тогда: . Далее , откуда . Сила , прикладываемая к колечку, равна сумме проекций двух сил натяжения на стержень: .
Корректными рассуждениями получено .
Метод 1. Предложено записать условие нерастяжимости куска нити от втулки до точки около колечка.
Метод 1. Правильно определена скорость точки в некоторой системе отсчета.
Метод 1. Найдена проекция скорости втулки на нить.
Метод 1. Найдена проекция скорости точки на нить.
Метод 2. Длина нити выражена через параметры системы.
Метод 2. Выражение для длины нити корректно продифференцировано.
Метод 3. Найдены перемещения колечка и втулки за небольшой промежуток времени.
Метод 3. Найдено изменение расстояния между втулкой и колечком: .
Метод 3. Корректно записано условие нерастяжимости нити.
Получен правильный ответ: .
Метод 1. Рассматривается круговое относительное движение втулки и точки или же напрямую записывается формула Ривальса.
Метод 1. Записано .
Метод 1. Связь нормальной проекции и полного ускорения втулки: .
Метод 2. Выражение для скорости втулки корректно продифференцировано по времени.
Метод 2. Из нерастяжимости нити получено правильное выражение: , или аналогичное верное уравнение.
Получено ускорение втулки: .
Записан второй закон Ньютона для втулки в проекции на стержень: .
Получена связь силы и силы натяжения нити: .
Получен верный ответ: .