Треугольник и плёнка
Лёгкие стержни и соединены шарнирно между собой. Конец стержня закреплён шарнирно на гладкой спице, а на конце стержня прикреплено с помощью шарнира маленькое колечко массы , которое может скользить по спице. Длины стержней различаются в два раза: , , все шарниры невесомы. Система снаружи (до закреплённой внешней границы) окружена двусторонней плёнкой с коэффициентом поверхностного натяжения . В области между спицей и стержнями плёнки нет. Силу тяжести не учитывайте.
- Найдите величину угла в положении равновесия.
- Найдите период малых колебаний системы вблизи положения равновесия.
Возможное решение. Способ 1 (энергетика).
В состоянии равновесия энергия системы должна быть минимальна. В данном случае энергия системы — это энергия натянутой плёнки, которая пропорциональна площади плёнки: с учётом того, что плёнка двусторонняя, . Ясно, что минимум этой энергии отвечает положению стержней, в котором максимальна площадь треугольника . Её удобно вычислять по двум сторонам ( и ) и углу между ними:
Эта площадь максимальна при , то есть когда стержни перпендикулярны друг другу. Поэтому в прямоугольном треугольнике :
Потенциальная энергия определена с точностью до константы, поэтому мы можем считать энергию системы в положении равновесия равной нулю. Тогда энергия системы в положении, в котором колечко сдвинулось вдоль стержня в точку с координатой , отсчитываемой от положения равновесия, равна
Длина стороны в этом положении
и, в соответствии с теоремой косинусов,
Отметим, что в этом выражении мы пренебрегли слагаемым порядка , поскольку колебания малые. В том же приближении
Значит,
Мы получили такое же выражение, как для груза на пружине: малые колебания колечка будут происходить по гармоническому закону с периодом
Ответ: , .
Указано, что в состоянии равновесия энергия плёнки минимальна.
Указано, что в состоянии равновесия максимальна площадь треугольника .
Записано выражение для площади (или для энергии системы) через один геометрический параметр: угол, длину стороны и т. д.
Определено положение равновесия системы: указано, что треугольник прямоугольный, найдена длина и т. п.
Найден угол численно или как значение обратной тригонометрической функции.
Записано выражение для энергии системы при отклонении от положения равновесия через однозначно определённую линейную или угловую координату.
Выражение для энергии приведено к квадратичному виду для малых колебаний.
Указана аналогия с колебаниями пружинного маятника или использован иной корректный способ связать потенциальную энергию с периодом гармонических колебаний.
Получена формула для периода малых колебаний.