Опять 45?
В фантастических фильмах иногда показывают, как НЛО захватывает тела на земле с помощью «притягивающего луча» (англ.
Предположим, он устроен таким образом, что в небольшой вертикальной области пространства на любое произвольное тело массой со стороны него действует сила , направленная противоположно силе тяжести и вдвое превосходящая её по модулю (сила тяжести действовать, конечно, не перестаёт). Экспериментатору Глюку приснилось, что он оказался на расстоянии от такой области, ширина которой тоже (см. рисунок).
-
С какой минимальной скоростью Глюк должен бросить камень с поверхности земли, чтобы он достиг притягивающего луча?
-
С какой минимальной скоростью Глюк должен бросить камень, чтобы он пролетел область, ограниченную лучом, насквозь?
-
Какова максимальная дальность броска , если начальная скорость камня равна ()?
-
Найдите максимальную дальность броска в случае . Считайте, что камень не отскакивает от земли, а НЛО находится так высоко, что камень ни при каких условиях не может в него попасть. Поверхность земли горизонтальна. Ускорение свободного падения .
Пока камень не долетел до притягивающего луча, он движется с постоянным ускорением . Дальность полёта камня, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту, равна
.
Это выражение принимает максимальное значение при , следовательно .
Направим ось горизонтально, а ось вертикально вверх; в качестве начала отсчёта выберем положение Глюка. Левую и правую (по ходу полёта камня) границы области, ограниченной притягивающим лучом, пронумеруем и соответственно (см. рисунок).
Ясно, что внутри луча камень движется с ускорением , и если он пересекает границу так, что проекция его скорости , то камень достигнет и границы . Этому соответствует условие , где , а — угол между и горизонтом. Следовательно, чтобы пролететь область, ограниченную лучом, насквозь, заведомо достаточно скорости , для которой
.
Проверим, что . Характерная для такого случая траектория камня приведена на рисунке. Её участок левее границы обладает центральной симметрией относительно точки пересечения границы . Пусть — наибольшая высота подъёма камня на участке слева от луча, а — высота, на которой камень пересекает границу . Из сказанного выше следует, что для того, чтобы камень достиг границы , достаточно , то есть .
Из закона равноускоренного движения следует, что
, .
Тогда условие может быть приведено к виду
.
Выделим в этом выражении полный квадрат:
.
Откуда выразим (напомним, что нас интересуют значения , так что выражение в скобках положительно):
.
Правая часть достигает минимального значения при , следовательно .
Горизонтальная компонента скорости камня неизменна, следовательно участки слева от притягивающего луча и внутри него камень проходит за одно время . Найдём скорость камня при пересечении границы : . Из соображений симметрии (см. рисунок) следует, что камень пересекает границу на высоте .
Время , за которое он после этого упадёт на землю, находится из уравнения
.
Этому соответствует горизонтальное смещение . Подставляя , получаем, что выражение для монотонно возрастает при увеличении , следовательно достигает максимального значения при :
.
Искомое расстояние
.
Поскольку и , и соответствуют броску под углом , достаточно подставить в выражение для . Получим
.
Получен ответ .
Обосновано, что необходимо рассматривать такие броски, при которых меняет знак до достижения границы .
Указано или явно видно из обозначений на рисунке, что характерная траектория обладает центральной симметрией относительно точки пересечения границы .
Сформулировано достаточное условие в форме или другое эквивалентное.
Достаточное условие переписано в виде уравнения или неравенства с двумя неизвестными: и .
Обосновано, что камень нужно бросать под углом к горизонту.
Получен ответ .
Обосновано, что камень пересекает границу со скоростью .
Указано, что камень пересекает границу на высоте вдвое большей, чем границу .
Обосновано, что камень нужно бросать под углом к горизонту.
Приведено верное выражение для , но не для . При верном выражении для балл за данный пункт ставится автоматически.
Получен ответ .
Получен ответ .