Исследовательский зонд
Исследовательский зонд, находящийся на круговой орбите радиуса вокруг планеты Шелезяка, изучает движение Болтика — маленького спутника планеты. Орбита Болтика тоже является круговой с радиусом () и лежит в той же плоскости, что и орбита зонда (см. рис. 1).
В процессе наблюдения приборы зонда зафиксировали, что Болтик спустя после пересечения им видимого края диска планеты оказался на максимальном угловом расстоянии от центра Шелезяки, а ещё спустя некоторое время, большее , снова пересёк край видимого диска планеты. Известно, что между указанными пересечениями других пересечений Болтика с видимым краем планеты не было.
Планета Шелезяка имеет форму шара и лишена атмосферы. Масса Болтика много меньше массы планеты, зонд и спутник обращаются вокруг планеты в одну и ту же сторону. Угловой диаметр планеты, наблюдаемый зондом, равен . Гравитационная постоянная равна .
1. Определите отношение .
2. Чему равен период обращения зонда вокруг Шелезяки?
3. Найдите среднюю плотность Шелезяки .
1. Угловым расстоянием между точками и называется величина угла , на сторонах которого лежат рассматриваемые точки, а вершина находится в точке наблюдения (см. рис. 2а).
2. Угловым диаметром астрономического объекта (например, звезды или планеты) называется величина максимально возможного угла между двумя касательными к поверхности рассматриваемого объекта, вершина которого находится в точке наблюдения (рис. 2б).
Решение.
Угловое расстояние между Болтиком и центром Шелезяки будет максимальным, когда прямая «зонд—Болтик» станет касательной к орбите спутника. В этом случае
откуда
Пусть — масса Шелезяки. Угловые скорости движения спутника и зонда, соответственно, равны
следовательно,
Следовательно, с точки зрения зонда спутник делает один оборот вокруг планеты за время
Чтобы найти , сделаем чертёж, где точка — центр планеты, точка — исследовательский зонд, а нарисованная окружность — орбита Болтика. В точках или спутник находится на краю видимого диска планеты, а точка соответствует максимальному угловому расстоянию между центром Шелезяки и Болтиком при наблюдении с зонда.
Из геометрии рисунка
По теореме синусов для треугольника
откуда, учитывая, что , получим, что
Найдём угол :
Так как движение по окружности равномерное, , откуда
С учётом того, что , получим
Пусть — радиус Шелезяки, тогда
Записывая массу планеты как
и подставляя её в выражение для угловой скорости движения зонда по орбите, получим
откуда
Записано соотношение или его аналог.
Получен численный ответ: или .
Записано, что или .
Записана правильная формула для относительной угловой скорости Болтика или для периода относительного движения .
Указано, что дуга, пройденная Болтиком, соответствует углу , или записано аналогичное выражение.
Записана теорема синусов или иное верное уравнение, связывающее , и угол и позволяющее определить или .
Получено верное значение угловой меры дуги , пройденной Болтиком за время .
Найдено верное значение или .
Получен верный численный ответ: .
Получено соотношение между радиусами Шелезяки и орбиты зонда: или аналогичное.
Записан второй закон Ньютона для движения зонда по круговой орбите: или аналогичное выражение.
Записана формула связи между массой планеты, её плотностью и радиусом, например .
Записано верное соотношение между , (или ), и (или ).
Получен верный численный ответ: .